高考大题纵横练(一)1．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－，x∈R.(1)求函数y＝f(－3x)＋1的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若锐角A满足f(－)＝，且a＝7，sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．2．某网络营销部门为了统计某市网友2022年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下表数据统计表：网购金额(单位：千元)频数频率(0,0.5]30.05(0.5,1]xp(1,1.5]90.15(1.5,2]150.25(2,2.5]180.30(2.5,3]yq合计601.00若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”“网购达人”人数比恰好为3∶2.(1)试确定x，y，p，q的值；(2)该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ10\n为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．3．如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP＝2，D是AP的中点，E、G分别为PC、CB的中点，F是PD上的点，将△PCD沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.(1)若F是PD的中点，求证：AP∥平面EFG；(2)当二面角G－EF－D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值．10\n4．(2022·四川)设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列{}的前n项和Tn.5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点与抛物线C：x2＝4y的焦点重合，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e＝，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M，N两点．(1)求椭圆C的方程；(2)若·＝－2，求直线l的方程；(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，MN∥AB，求证：为定值．10\n10\n6．已知函数f(x)＝[ax2＋(a－1)2x－a2＋3a－1]ex(a∈R)．(1)若函数f(x)在(2,3)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a＝0，设g(x)＝＋lnx－x，斜率为k的直线与曲线y＝g(x)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)(其中x1<x2)两点，证明：(x1＋x2)k>2.10\n答案精析高考大题纵横练(一)1．解 (1)∵f(x)＝2sinxcosx＋(2cos2x－1)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，∴y＝f(－3x)＋1＝2sin(－6x＋)＋1＝－2sin(6x－)＋1，∴y＝f(－3x)＋1的最小正周期为T＝＝，由2kπ－≤6x－≤2kπ＋得：kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴y＝f(－3x)＋1的单调递减区间是[kπ－，kπ＋]，k∈Z.(2)∵f(－)＝.∴2sin(A－＋)＝，∴sinA＝.∵0<A<，∴A＝.由正弦定理得：sinB＋sinC＝sinA，即＝×，∴b＋c＝13，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得：a2＝(b＋c)2－2bc－2bccosA，即49＝169－3bc，∴bc＝40，∴S△ABC＝bcsinA＝×40×＝10.2．解 (1)根据题意，有解得∴p＝0.15，q＝0.10.(2)用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有10×＝4人，“非网购达人”有10×＝6人，10\n故ξ的可能取值为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝.∴ξ的分布列为ξ0123P∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.3．(1)证明 F是PD的中点时，EF∥CD∥AB，EG∥PB，∴AB∥平面EFG，PB∥平面EFG，AB∩PB＝B，∴平面PAB∥平面EFG，又∵AP⊂平面PAB，∴AP∥平面EFG.(2)解 建立如图所示的坐标系，则有G(1,2,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,1,1)，B(2,2,0)，设F(0,0，a)，＝(－1，－2，a)，＝(－1，－1,1)，设平面EFG的一个法向量n1＝(x，y,1)，则有解得∴n1＝(2－a，a－1,1)．取平面EFD的一个法向量n2＝(1,0,0)，依题意，cos〈n1，n2〉＝＝，∴a＝1，于是＝(－1，－2,1)．设平面PBC的一个法向量n3＝(m，n,1)，＝(0,2，－2)，＝(－2,0,0)，则有解得∴n3＝(0,1,1)．设FG与平面PBC所成角为θ，则有sinθ＝|cos〈，n3〉|＝＝，故有cosθ＝.4．解 (1)由已知，得b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，有2a8＝4×2a7＝2a7＋2.解得d＝a8－a7＝2.10\n所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln2)(x－a2)，它在x轴上的截距为a2－.由题意知，a2－＝2－，解得a2＝2.所以d＝a2－a1＝1，从而an＝n，bn＝2n.所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋.因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.所以Tn＝.5．(1)解 由题意知，椭圆的一个顶点为(0，)，即b＝，e＝＝，∴a＝2，∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)解 由题意可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)．由得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，x1＋x2＝，x1x2＝，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝＋k2(－＋1)＝＝－2，解得k＝±，故直线l的方程为y＝(x－1)或10\ny＝－(x－1)，即x－y－＝0或x＋y－＝0.(3)证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x3，y3)，B(x4，y4)，由(2)可得|MN|＝|x1－x2|＝＝＝，由消去y并整理得x2＝，|AB|＝|x3－x4|＝4，∴＝＝4，为定值．6．(1)解 f′(x)＝[ax2＋(a2＋1)x＋a]ex，当a≥0时，∵x∈(2,3)，∴f(x)在(2,3)上单调递增；当a<0，∵f(x)在(2,3)上单调递增，f′(x)＝a(x＋a)(x＋)·ex≥0，①当－1<a<0时，得－a≤x≤－，依题意知(2,3)⊆[－a，－]，得－≤a<0；②当a＝－1时，f′(x)＝－(x－1)2·ex≤0，不合题意，舍去；③当a<－1时，得－≤x≤－a，依题意知(2,3)⊆[－，－a]，得a≤－3.综上得：a∈(－∞，－3]∪[－，＋∞)．(2)证明 当a＝0时，g(x)＝＋lnx－x＝lnx－1，k＝，要证(x1＋x2)k>2，即证(x1＋x2)·>2，10\n∵x2－x1>0，即证ln>(>1)．令h(x)＝lnx－(x>1)，则h′(x)＝－＝>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，h(x)>h(1)＝0.∴ln>.即(x1＋x2)k>2成立．10
