高考小题综合练(三)1．(2022·韶关十校联考)已知a是实数，是纯虚数，则a等于( )A．1B．－1C.D．－2．(2022·重庆一中月考)已知集合M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|x<a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( )A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，0)D．(－∞，0]3．设x，y满足约束条件若z＝x＋3y＋m的最小值为4，则m等于( )A．1B．2C．3D．44．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则( )A．若m⊥n，α⊥βB．若α⊥β，则m⊥nC．若m∥n，则α∥βD．若α∥β，则m∥n5．已知数列{an}满足1＋log3an＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是( )A.B．－C．5D．－56．(2022·安徽改编)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n值为( )A．3B．4C．5D．67．(2022·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.B.C.D.7\n8．(2022·浙江省重点中学训练)将二项式(＋)n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的指数是整数的项的个数是( )A．3B．4C．5D．69．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足csinA＝acosC，则sinA＋sinB的最大值是( )A．1B.C．3D.10．(2022·山东)已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝011．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )A．0B.C．1D.12．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶13．f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．14.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的点，AP＝，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.15．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n>1，n∈N*，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋1)都成立，则S10＝________.16．(2022·四川)已知函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R)．对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；7\n②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).7\n答案精析高考小题综合练(三)1．A [因为＝＝＋i是纯虚数，所以＝0，即a＝1，所以应选择A.]2．A [M＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，因为M⊆N，所以a≥2，故选A.]3．B [画出可行域，如图所示，设z′＝x＋3y，变形为y＝－x＋z′，当z′取到最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C点．由可知C(，)，代入目标函数z＝x＋3y＋m，得4＝＋3×＋m，得m＝2.]4．D [对于D，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D是正确的，而A，B，C均可以举出反例说明不成立．]5．D [由1＋log3an＝log3an＋1得＝3，{an}为等比数列，公比为3.∴a5＋a7＋a9＝27(a2＋a4＋a6)＝27×9＝35，∴log(a5＋a7＋a9)＝log35＝－5.]6．B [执行第一次判断：|a－1.414|＝0.414>0.005，a＝，n＝2；执行第二次判断：|a－1.414|＝0.086>0．005，a＝，n＝3；执行第三次判断：|a－1.414|＝0.014>0．005，a＝，n＝4；执行第四次判断：|a－1.414|<0.005，输出n＝4.]7．D [如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A1B1C1D1被过三点A、B1、D1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA1B1D1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为＝7\n＝＝，选D.]8．A [展开式的通项为Tr＋1＝C·()rx(r＝0,1,2，…，n)，∴前三项的系数分别是1，，，∴2·＝1＋，∴n＝8，∴当n＝8时，Tr＋1＝C()rx(r＝0,1,2，…，8)，∴r＝0,4,8，展开式中x的指数是整数，故共有3个，答案为A.]9．D [∵csinA＝acosC，∴sinCsinA＝sinAcosC，∵sinA≠0，∴tanC＝，∵0<C<π，∴C＝，∴sinA＋sinB＝sinA＋sin(－A)＝sinA＋cosA＝sin(A＋)，∵0<A<，∴<A＋<，∴<sin(A＋)≤，∴sinA＋sinB的最大值为.]10．A [由题意知e1＝，e2＝，∴e1·e2＝·＝＝.又∵c＝a2－b2，c＝a2＋b2，∴＝＝1－()4，即1－()4＝，解得＝±，∴＝.令－＝0，解得bx±ay＝0，∴x±y＝0.]11．B [＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，7\n所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.]12．D [射击两次的结果有：一次中靶；二次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．]13．6解析 f(x)＝x3－2cx2＋c2x，f′(x)＝3x2－4cx＋c2，f′(2)＝0⇒c＝2或c＝6.若c＝2，f′(x)＝3x2－8x＋4，令f′(x)>0⇒x<或x>2，f′(x)<0⇒<x<2，故函数在(－∞，)及(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减，∴x＝2是极小值点，故c＝2不合题意，同样验证可知c＝6符合题意．14.a解析 如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，∴MN∥PQ.又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.又∵AP＝，∴＝＝，∴PQ＝AC＝a.15．91解析 ∵∴an＋2＋an＝2an＋1，∴数列{an}从第二项开始为等差数列，当n＝2时，S3＋S1＝2S2＋2，∴a3＝a2＋2＝4，∴S10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋＝91.16．①④解析 设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x1，g(x1))，D(x2，g(x2))，对于①从y＝2x的图象可看出，m＝kAB＞0恒成立，故正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，7\n即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，得2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2xln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2xln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故①④正确．7
