第7练 抓重点——函数性质与分段函数[题型分析·高考展望] 函数单调性、奇偶性、周期性是高考必考内容，以分段函数为载体是常考题型.主要以选择题或填空题的形式考查，难度为中档偏上.二轮复习中，应该重点训练函数性质的综合应用能力，收集函数应用的不同题型，分析比较异同点，排查与其他知识的交汇点，找到此类问题的解决策略，通过训练提高解题能力.常考题型精析题型一 函数单调性、奇偶性的应用1.常用结论：设x1、x2∈[a，b]，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔>0⇔f(x)在[a，b]上递增.(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔<0⇔f(x)在[a，b]上递减.2.若f(x)和g(x)都是增函数，则f(x)＋g(x)也是增函数，－f(x)是减函数，复合函数的单调性根据内函数和外函数同增异减的法则判断.3.定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数.4.奇偶性相同的两函数的积为偶函数，奇偶性相反的两函数的积为奇函数.例1 (1)(2022·湖北)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2).若∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则实数a的取值范围为( )A.[－，]B.[－，]C.[－，]D.[－，](2)(2022·课标全国Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________.点评 (1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上，这是简化问题的一种途径.尤其注意偶函数f(x)的性质：f(|x|)＝f(x).(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性.变式训练1 (1)(2022·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x-m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )A.a＜b＜cB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.c＜b＜a10\n(2)(2022·北京)下列函数中为偶函数的是( )A.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2-x题型二 函数的周期性与对称性的应用重要结论：1.若对于定义域内的任意x，都有f(a－x)＝f(a＋x)，则f(x)关于x＝a对称.2.若对于任意x都有f(x＋T)＝f(x)，则f(x)的周期为T.例2 (1)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0)时，f(x)＝－x，则f(2015)＋f(2016)＝________.(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x).当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2016)＝________.点评 利用函数的周期性、对称性可以转化函数解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.变式训练2 已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：①f(2)＝0；②x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；③函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；④若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.则所有正确命题的序号为________.题型三 分段函数例3 已知函数f(x)＝是奇函数.(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围. 点评 (1)分段函数是一个函数在其定义域的不同子集上，因对应关系的不同而分别用几个不同的式子来表示的.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.10\n(2)在求分段函数f(x)解析式时，一定要首先判断x属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式.变式训练3 (2022·浙江)设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是________.高考题型精练1.(2022·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y＝lnxB.y＝x2＋1C.y＝sinxD.y＝cosx2.(2022·陕西)设f(x)＝则f(f(－2))等于( )A.－1B.C.D.3.(2022·山东)函数f(x)＝的定义域为( )A.B.(2，＋∞)C.∪(2，＋∞)D.∪[2，＋∞)4.(2022·江西)已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a等于( )A.B.C.1D.25.下列函数f(x)中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是( )A.f(x)＝－xB.f(x)＝x3C.f(x)＝lnxD.f(x)＝2x6.函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝20.2·f(20.2)，b＝ln2·f(ln2)，c＝(log)·f(log)，则a，b，c的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b10\n7.设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝则f(x)的值域是( )A.[－，0]∪(1，＋∞)B.[0，＋∞)C.[－，＋∞)D.[－，0]∪(2，＋∞)8.(2022·青岛模拟)对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数y＝f(x)－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是( )A.(－∞，－2]∪(－1，)B.(－∞，－2]∪(－1，－)C.(－1，)∪(，＋∞)D.(－1，－)∪[，＋∞)9.(2022·安徽)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________.10.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.11.已知函数f(x)＝其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k(x＋1)(k>0)与函数y＝f(x)的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是____________.12.已知函数y＝f(x)，x∈R，有下列4个命题：①若f(1＋2x)＝f(1－2x)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称；②y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称；③若f(x)为偶函数，且f(2＋x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称；④若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象关于直线x＝1对称.其中正确命题的序号为________.10\n答案精析第7练 抓重点——函数性质与分段函数常考题型精析例1 (1)B (2)(－1,3)解析 (1)因为当x≥0时，f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝(a2－x＋2a2－x－3a2)＝－x；当a2<x<2a2时，f(x)＝(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－≤a≤.(2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称.又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)>0，得－2<x－1<2，即－1<x<3.变式训练1 (1)B (2)B解析 (1)由函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数，得m＝0，∴f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|－log23|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)＝f(0)，故选B.10\n(2)由f(－x)＝f(x)，且定义域关于原点对称，可知A为奇函数，B为偶函数，C定义域不关于原点对称，D为非奇非偶函数.例2 (1)1 (2)336解析 (1)由f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数且f(x)的图象关于直线x＝1对称，知f(x)的周期为4，f(2015)＝f(3)＝f(－1)＝1，f(2016)＝f(4)＝f(0)＝0.∴f(2015)＋f(2016)＝1＋0＝1.(2)由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的一个周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]×336＝336.变式训练2 ①②④解析 令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(2)，f(－2)＝0，又函数f(x)是偶函数，故f(2)＝0，①正确；根据①可得f(x＋4)＝f(x)，可得函数f(x)的周期是4，由于偶函数的图象关于y轴对称，故x＝－4也是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f(x)在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f(x)的图象关于直线x＝－4对称，故如果方程f(x)＝m在区间[－6，－2]上的两根为x1，x2，则＝－4，即x1＋x2＝－8，④正确.故正确命题的序号为①②④.例3 解 (1)∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x).当x>0时，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)，即x2－mx＝x2－2x.∴m＝2.(2)由(1)知f(x)＝如图.当x>0时，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴当x∈[1，＋∞)时，f(x)单调递减；10\n当x∈(0,1]时，f(x)单调递增.当x<0时，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∴当x∈(－∞，－1]时，f(x)单调递减；当x∈[－1,0)时，f(x)单调递增.综上知：函数f(x)在[－1,1]上单调递增.又函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增.∴解得1<a≤3.故实数a的取值范围是(1,3].变式训练3 a≤解析 f(x)的图象如图，由图象知，满足f(f(a))≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤.高考题型精练1.D[对数函数y＝lnx是非奇非偶函数；y＝x2＋1为偶函数但没有零点；y＝sinx是奇函数；y＝cosx是偶函数且有零点，故选D.]2.C[∵f(－2)＝2－2＝＞0，则f(f(－2))＝f＝1－＝1－＝，故选C.]3.C[由题意知解得x>2或0<x<.故选C.]4.A[由题意得f(－1)＝2－(－1)＝2，f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝4a＝1，∴a＝.]5.A[“∀x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0”等价于在(0，＋∞)上f(x)为减函数，易判断f(x)＝－x符合.]6.B[因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，所以y＝f(x)关于y轴对称.所以函数y＝xf(x)为奇函数.因为[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)，所以当x∈(－∞，0)时，[xf(x)]′＝f(x)＋xf′(x)<0，10\n函数y＝xf(x)单调递减，从而当x∈(0，＋∞)时，函数y＝xf(x)单调递减.因为1<20.2<2,0<ln2<1，log＝2，从而0<ln2<20.2<log，所以b>a>c.]7.D[由x<g(x)得x<x2－2，∴x<－1或x>2；由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2.∴f(x)＝即f(x)＝当x<－1时，f(x)>2；当x>2时，f(x)>8.∴当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，函数的值域为(2，＋∞).当－1≤x≤2时，－≤f(x)≤0.∴当x∈[－1,2]时，函数的值域为[－，0].综上可知，f(x)的值域为[－，0]∪(2，＋∞).]8.B[f(x)＝即f(x)＝f(x)的图象如图所示，由图象可知B正确.]9.解析 ∵f(x)是以4为周期的奇函数，∴f＝f＝f，f＝f＝f.∵当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，10\n∴f＝×＝.∵当1<x≤2时，f(x)＝sinπx，∴f＝sin＝－.又∵f(x)是奇函数，∴f＝－f＝－，f＝－f＝.∴f＋f＝－＋＝.10.1解析 依题意，得h(x)＝当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数；当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，∴h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.11.解析 根据[x]表示的意义可知，当0≤x<1时，f(x)＝x，当1≤x<2时，f(x)＝x－1，当2≤x<3时，f(x)＝x－2，以此类推，当k≤x<k＋1时，f(x)＝x－k，k∈Z，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1，作出函数f(x)的图象如图，直线y＝k(x＋1)过点(－1,0)，当直线经过点(3,1)时恰有三个交点，当直线经过点(2,1)时恰好有两个交点，在这两条直线之间时有三个交点，故k∈.12.①②④解析 ＝1，故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故①正确；对于②，令t＝x－2，则问题等价于y＝f(t)与y＝f(－t)图象的对称问题，显然这两个函数的图象关于直线t＝0对称，即函数y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x－2＝0即x＝2对称，故②正确；由f(x＋2)＝－f(x)，可得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，我们只能得到函数的周期为4，即只能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝4k(k∈Z)对称，不能推得函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③错误；由于函数f(x)为奇函数，由f(x)＝f(－x－2)，可得f(－x)＝f(x＋2)，由于＝1，可得函数y＝f(x)的图象关于直线x10\n＝1对称，故④正确.10
