第10练 重应用——函数的实际应用[题型分析·高考展望] 函数的实际应用也是高考常考题型，特别是基本函数模型的应用，在选择题、填空题、解答题中都会出现，多以实际生活、常见的自然现象为背景，较新颖、灵活，解决此类问题时，应从实际问题中分析涉及的数学知识，从而抽象出基本函数模型，然后利用基本函数的性质或相应的数学方法，使问题得以解决.常考题型精析题型一 基本函数模型的应用例1 (1)(2022·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a、b、c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟(2)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.①当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 11\n 点评 解决实际应用问题关键在于读题，读题必须细心、耐心，从中分析出数学“元素”，确定该问题涉及的数学模型，一般程序如下：⇒⇒⇒.变式训练1 (1)(2022·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2022年5月1日12350002022年5月15日4835600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )A.6升B.8升C.10升D.12升(2)2022年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价以按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以使每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.题型二 分段函数模型的应用例2 2022年4月，某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y＝mf(x)，其中f(x)＝当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？11\n(2)如果投放药剂质量为m，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值. 点评 函数有关应用题的常见类型及解题关键(1)常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题.(2)解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.变式训练2 季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式；(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N11\n，试问该服装第几周每件销售利润最大？最大值是多少？(注：每件销售利润＝售价－进价) 高考题型精练1.(2022·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油2.(2022·湖南)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.B.C.D.－13.(2022·陕西)如图，某飞行器在4千米高空水平飞行，从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降，已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A.y＝x3－xB.y＝x3－x11\nC.y＝x3－xD.y＝－x3＋x4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A.300只B.400只C.600只D.700只5.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－2.9543)( )A.2022年B.2022年C.2022年D.2022年6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单元：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A.45.606万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元7.(2022·福建)要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________.(单位：元)8.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)＝n(n＋1)(2n＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年.9.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.10.(2022·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时.11\n11.为了保护学生的视力，课桌椅子的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明：假设课桌的高度为ycm，椅子的高度为xcm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：第一套第二套椅子高度x(cm)40.037.0课桌高度y(cm)75.070.2(1)请你确定y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围).(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？为什么？12.某企业实行裁员增效，已知现有员工a人，每人每年可创纯收益(已扣工资等)1万元，据评估在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多创纯收益0.01万元，但每年需付给每位下岗工人0.4万元的生活费，并且企业正常运转所需人数不得少于现有员工的，设该企业裁员x人后年纯收益为y万元.(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)当140<a≤280时，该企业应裁员多少人，才能获得最大的经济效益？(注：在保证能取得最大经济效益的情况下，能少裁员，应尽量少裁员) 11\n答案精析第10练 重应用——函数的实际应用常考题型精析例1 (1)B[根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得消去c化简得解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－(t2－t＋)＋－2＝－(t－)2＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.](2)解 ①当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2，所以当x∈[200,300]时，S<0，因此该单位不会获利.当x＝300时，S取得最大值－5000，所以国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损.②由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为＝(ⅰ)当x∈[120,144)时，＝x2－80x＋5040＝(x－120)2＋240，所以当x＝120时，取得最小值240.(ⅱ)当x∈[144,500]时，＝x＋－200≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时，取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.11\n变式训练1 (1)B (2)y＝x(x∈N*)解析 (1)由表知：汽车行驶路程为35600－35000＝600千米，耗油量为48升，∴每100千米耗油量8升.(2)设每台新价为b，则售价b(1－25%)，让利b×25%，由于原价为a，则进价为a(1－20%)，根据题意，得每件家电利润为b×(1－25%)×20%＝b×(1－25%)－a(1－20%)，化简得b＝a.∴y＝b×25%·x＝a×25%×x＝x(x∈N*)，即y＝x(x∈N*).例2 解 (1)由题意，得当药剂质量m＝4时，y＝当0<x≤4时，＋8≥4，显然符合题意.当x>4时，≥4，解得4<x≤16.综上0<x≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由y＝m·f(x)＝得当0<x≤4时，y＝＋2m在区间(0,4]上单调递增，即2m<y≤3m；当x>4时，y′＝<0，所以函数在区间(4,7]上单调递减，即≤y<3m，综上知，≤y≤3m，为使4≤y≤10恒成立，只要≥4且3m≤10即可，即≤m≤.所以应该投放的药剂量m的最小值为.变式训练2 解 (1)P＝(2)设该服装每件销售利润为L元.由题意，得11\nL＝＝①当t∈[0,5]时，Lmax＝9.125，此时t＝5；②当t∈(5,10]时，Lmax＝8.5，此时t＝6或10；③当t∈(10,16]时，Lmax＝7.125，此时t＝11；∴第五周每件销售利润最大，最大值为9.125元.高考题型精练1.D[根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故选项A错；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项B错；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故选项C错；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项D对.]2.D[设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝－1.]3.A[函数在[－5,5]上为减函数，所以在[－5,5]上y′≤0，经检验只有A符合.故选A.]4.A[将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)得，100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝7时，y＝100log2(7＋1)＝300.]5.B[设1995年生产总值为a，经过x年翻两番，则a·(1＋9%)x＝4a.∴x＝≈16.]6.B[依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，所以总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)，所以当x＝10时，S有最大值为45.6(万元).]7.160解析 设该长方体容器的长为xm，则宽为m.又设该容器的造价为y元，则y＝20×4＋2(x＋)×10，即y＝80＋20(x＋)(x>0).因为x＋≥2＝4(当且仅当x＝，即x＝2时取“＝”)，所以ymin＝80＋20×4＝160(元).8.7解析 设第n(n∈N*)年的年产量为an，则a1＝×1×2×3＝3；当n≥2时，an＝f(n)－f(n－1)＝n(n＋1)·(2n＋1)－n(n－1)(2n－1)＝3n2.又a1＝3也符合an＝3n2，所以an＝3n2(n∈N*).令an≤150，即3n2≤150，解得－5≤n≤5，所以1≤n≤7，n∈N*，故最长的生产期限为7年.11\n9.16解析 当t＝0时，y＝a，当t＝8时，y＝ae－8b＝a，∴e－8b＝，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16min.10.24解析 由题意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝3·eb＝×192＝24.11.解 (1)根据题意，课桌高度y是椅子高度x的一次函数，故可设函数关系为y＝kx＋b.将符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得 ∴∴y与x的函数关系式是y＝1.6x＋11.(2)把x＝42代入上述函数关系式中，有y＝1.6×42＋11＝78.2.∴给出的这套课桌椅是配套的.12.解 (1)由题意可知，y＝(a－x)(1＋0.01x)－0.4x＝－x2＋x＋a.∵a－x≥a，∴x≤a，即x的取值范围是中的自然数.(2)∵y＝－2＋2＋a，且140<a≤280，∴当a为偶数时，x＝－70，y取最大值.当a为奇数时，x＝－70，y取最大值(∵尽可能少裁人，∴舍去x＝－70).∴当员工人数为偶数时，裁员人，才能获得最大的经济效益；11\n当员工人数为奇数时，裁员人，才能获得最大的经济效益.11
