【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月中档大题规范练1三角函数理中档大题规范练1.设向量a＝(sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的值域.2.已知0<α<，<β<π且tan＝，sin(α＋β)＝.(1)分别求cosα与cosβ的值；(2)求tan的值.7\n3.(2022·潍坊模拟)已知函数f(x)＝4cosxsin＋a的最大值为2.(1)求实数a的值及f(x)的最小正周期；(2)在坐标纸上作出f(x)在[0，π]上的图象.4.(2022·苏州二模)已知函数f(x)＝cos·cos，g(x)＝sin2x－.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合.7\n5.(2022·盐城二模)如图所示，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：千米).如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?6.设f(x)＝sinx＋sin－cos，x∈[0,2π].(1)求函数f(x)的最小正周期和单调区间；(2)在锐角△ABC中，若f(A)＝，a＝2，b＝，求∠C及边c.7\n答案精析中档大题规范练中档大题规范练11.解 (1)由于|a|＝＝2|sinx|，|b|＝＝1，而|a|＝|b|，则有2|sinx|＝1，又x∈，则有sinx＝，所以x＝.(2)由于f(x)＝a·b＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，又x∈，则有2x－∈，所以当2x－＝，即x＝时，sin取得最大值1，此时f(x)取得最大值；当2x－＝－，即x＝0时，sin取得最小值－，此时f(x)取得最小值0.故f(x)的值域为.2.解 (1)cosα＝cos2－sin2＝＝＝，∵0<α<，∴sinα＝.∵α＋β∈，sin(α＋β)＝，∴cos(α＋β)＝－.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]7\n＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝·＋·＝－.(2)∵2cos2－1＝cosβ＝－且∈，∴cos＝，∴sin＝.∴tan＝.∴tan＝＝－.3.解 (1)f(x)＝4cosx＋a＝sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin＋a＋1，最大值为3＋a＝2，∴a＝－1.T＝＝π.(2)列表如下：2x＋π2πx0πf(x)120－201画图如下：4.解 (1)f(x)＝coscos＝7\n＝cos2x－sin2x＝－＝cos2x－，∴f(x)的最小正周期为＝π.(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝cos2x－sin2x＝cos，当2x＋＝2kπ(k∈Z)时，h(x)取得最大值.h(x)取得最大值时，对应的x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}.5.解 设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ).在△AMP中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ).AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(60°＋θ)＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°).当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.所以设计∠AMN＝60°时，工厂产生的噪声对居民影响最小.6.解 (1)因为f(x)＝sinx＋sinxcos＋cosxsin－7\n＝sinx＋sinx＋cosx＋cosx－sinx＝sinx＋cosx＝sin，所以f(x)的最小正周期T＝2π.由x∈[0,2π]，可知x＋∈.当x＋∈，即x∈时，f(x)为单调递增函数；当x＋∈，即x∈时，f(x)为单调递减函数；当x＋∈，即x∈时，f(x)为单调递增函数.所以f(x)的单调递增区间为，，函数f(x)的单调递减区间为.(2)由f(A)＝sin＝，得sin＝1，故A＋＝，得A＝.由正弦定理知＝，即＝，得sinB＝，又B∈，因此B＝，所以C＝π－(A＋B)＝π－＝.由正弦定理知，＝＝＝2，得c＝2sin＝2·＝＋1.7
