第6练 夯基础——熟练掌握基本初等函数[题型分析·高考展望] 基本初等函数的性质、图象及其应用是高考每年必考内容，一般为二至三个选择题、填空题，难度为中档.在二轮复习中，应该对基本函数的性质、图象再复习，达到熟练掌握，灵活应用.对常考题型进行题组强化训练，图象问题难度稍高，应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略.常考题型精析题型一 指数函数的图象与性质指数函数性质：指数函数y＝ax(a>0且a≠1)为单调函数；当a>1时在(－∞，＋∞)上为增函数，当0<a<1时，在(－∞，＋∞)上为减函数；指数函数y＝ax为非奇非偶函数，值域y∈(0，＋∞).例1 (1)(2022·昆明模拟)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为( )A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a(2)若关于x的方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是( )A.(0,1)∪(1，＋∞)B.(0,1)C.(1，＋∞)D.点评 (1)指数函数值比较大小，除考虑指数函数单调性、值域外，还需考虑将其转化为幂函数，利用幂函数的单调性比较大小.(2)数形结合思想是解决函数综合问题的主要手段，将问题转化为基本函数的图象关系，比较图象得出相关变量的方程或不等关系，从而使问题解决.变式训练1 (1)(2022·山东)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )A.a＜b＜cB.a＜c＜b9\nC.b＜a＜cD.b＜c＜a(2)(2022·江苏)不等式2x2－x＜4的解集为________.题型二 对数函数的图象与性质y＝logax(a>0且a≠1)基本性质：过定点(1,0)；a>1时在(0，＋∞)上单调递增，0<a<1时在(0，＋∞)上单调递减；0<a<1时，x∈(1，＋∞)，y<0，x∈(0,1)，y>0；a>1时，x∈(1，＋∞)，y>0，x∈(0,1)，y<0；y＝logax，x∈(0，＋∞)，y∈R，是非奇非偶函数.例2 (2022·福建)若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是( )点评 对于含参数的指数、对数函数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论.解决对数函数问题时，首先要考虑其定义域，其次再利用性质求解.变式训练2 (1)(2022·四川)设a，b为正实数，则“a＞b＞1”是“log2a＞log2b＞0”的( )A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件(2)(2022·苏北四市联考)设函数f(x)＝若f(－a)>f(a)，则实数a的取值范围是________________.题型三 幂函数的图象和性质9\n例3 (2022·重庆)已知函数f(x)＝且g(x)＝f(x)－mx－m在(－1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A.∪B.∪C.∪D.∪点评 在幂函数中，y＝x－1非常重要，在高考中经常考查，要会画其函数作平移变换后的图象，并对其对称中心、单调性作深入研究.变式训练3 (1)(2022·湖南)设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)已知定义域为R的函数f(x)＝若关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的实根x1，x2，x3，则x＋x＋x等于( )A.13B.C.5D.高考题型精练1.(2022·重庆)函数f(x)＝log2(x2＋2x－3)的定义域是( )A.[－3,1]B.(－3,1)C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)2.(2022·课标全国Ⅰ)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a等于( )A.－1B.1C.2D.43.(2022·山东)已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A.a>1，c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1，c>1D.0<a<1,0<c<19\n4.设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c5.(2022·安徽)设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b6.设a>0，b>0( )A.若2a＋2a＝2b＋3b，则a>bB.若2a＋2a＝2b＋3b，则a<bC.若2a－2a＝2b－3b，则a>bD.若2a－2a＝2b－3b，则a<b7.(2022·北京)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A.{x|－1＜x≤0}B.{x|－1≤x≤1}C.{x|－1＜x≤1}D.{x|－1＜x≤2}8.(2022·浙江)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是( )9\n9.已知0<a<1，则函数f(x)＝ax－|logax|的零点个数为________.10.若函数y＝|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________.11.已知函数f(x)＝且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.12.定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝ln(ex＋ey)，x，y∈R.当x*x＝y时，x＝.对任意实数a，b，c，给出如下命题：①a*b＝b*a；②(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)；③(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)；④(a*b)*c＝a*(b*c)；⑤≥.其中正确的命题有______.(写出所有正确的命题序号)9\n答案精析专题3函数与导数第6练 夯基础——熟练掌握基本初等函数常考题型精析例1 (1)A (2)D解析 (1)由已知得a＝80.1，b＝90.1，c＝70.1，构造幂函数y＝x0.1，根据幂函数在区间(0，＋∞)上为增函数，得c<a<b.(2)方程|ax－1|＝2a(a>0且a≠1)有两个实根转化为函数y＝|ax－1|与y＝2a有两个交点.①当0<a<1时，如图(1)，∴0<2a<1，即0<a<.②当a>1时，如图(2)，而y＝2a>1不符合要求.综上，0<a<.变式训练1 (1)C (2){x|－1＜x＜2}解析 (1)根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5＜0.60.6＜0.60＝1，根据指数函数y＝1.5x在R上单调递增可得1.50.6＞1.50＝1，∴b＜a＜c.(2)∵2x2－x＜4＝22，∴x2－x＜2，即x2－x－2＜0，解得－1<x<2.例2 B [题意得y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3,1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝()x，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符，故选B.]变式训练2 (1)A (2)(－1,0)∪(1，＋∞)解析 (1)若a＞b＞1，那么log2a＞log2b＞0；若log2a＞log2b＞0，那么a＞b＞1，故选A.(2)若a>0，则log2a>loga，即2log2a>0，所以a>1.若a<0，则log(－a)>log2(－a)，即9\n2log2(－a)<0，所以0<－a<1，解得－1<a<0，所以实数a的取值范围是a>1或－1<a<0，即a∈(－1,0)∪(1，＋∞).例3 A[作出函数f(x)的图象如图所示，其中A(1,1)，B(0，－2).因为直线y＝mx＋m＝m(x＋1)恒过定点C(－1,0)，故当直线y＝m(x＋1)在AC位置时，m＝，可知当直线y＝m(x＋1)在x轴和AC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与AC重合但不能与x轴重合)，此时0<m≤，g(x)有两个不同的零点.当直线y＝m(x＋1)过点B时，m＝－2；当直线y＝m(x＋1)与曲线f(x)相切时，联立得mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，由Δ＝(2m＋3)2－4m(m＋2)＝0，解得m＝－，可知当y＝m(x＋1)在切线和BC之间运动时两图象有两个不同的交点(直线y＝m(x＋1)可与BC重合但不能与切线重合)，此时－<m≤－2，g(x)有两个不同的零点.综上，m的取值范围为(－，－2]∪(0，]，故选A.]变式训练3 (1)C (2)C解析 (1)由于函数f(x)＝x3在R上为增函数，所以当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立.因此“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C.(2)作出f(x)的图象，由图知，只有当f(x)＝1时有3个不同的实根；∵关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有3个不同的实数解x1，x2，x3，∴必有f(x)＝1，从而x1＝1，x2＝2，x3＝0，故可得x＋x＋x＝5，故选C.高考题型精练1.D[需满足x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，所以f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞).]9\n2.C[设f(x)上任意一点为(x，y)，关于y＝－x的对称点为(－y，－x)，将(－y，－x)代入y＝2x+a，所以y＝a－log2(－x)，由f(－2)＋f(－4)＝1，得a－1＋a－2＝1,2a＝4，a＝2.]3.D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1,0<c<1.]4.D[因为a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.]5.B[∵a＝log37，∴1<a<2.∵b＝21.1，∴b>2.∵c＝0.83.1，∴0<c<1.故c<a<b，选B.]6.A[对于x>0时有2x＋2x<2x＋3x恒成立，而要使2a＋2a＝2b＋3b成立，则必须有a>b.]7.C[令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图.由 得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}.]8.D[当a>1时，y＝xa与y＝logax均为增函数，但y＝xa递增较快，排除C；当0<a<1时，y＝xa为增函数，y＝logax为减函数，排除A.由于y＝xa递增较慢，所以选D.]9.2解析分别画出函数y＝ax(0<a<1)与y＝|logax|(0<a<1)的图象，如图所示，图象有两个交点.10.[－1,0)解析 由题意得，函数y＝首先作出函数y＝的图象，如图所示.9\n由图象可知要使函数y＝的图象与x轴有公共点，则m∈[－1,0).11.a>1解析 画出函数y＝f(x)与y＝a－x的图象，如图所示，所以a>1.12.①②③④⑤解析 因为a*b＝ln(ea＋eb)，b*a＝ln(eb＋ea)，所以a*b＝b*a，即①对；因为(a*b)＋c＝ln(ea＋eb)＋c＝ln[(ea＋eb)ec]＝ln(ea＋c＋eb＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，所以②对；只需令②中的c为－c，即有结论(a*b)－c＝(a－c)*(b－c)，所以③对；因为(a*b)*c＝[ln(ea＋eb)]*c＝ln[eln(ea＋eb)＋ec]＝ln(ea＋eb＋ec)，a*(b*c)＝a*[ln(eb＋ec)]＝ln[ea＋eln(eb＋ec)]＝ln(ea＋eb＋ec)，所以(a*b)*c＝a*(b*c)，即④对；设＝x，则x*x＝a*b，所以ln(ex＋ex)＝ln(ea＋eb)，所以2ex＝ea＋eb，所以x＝ln，即＝ln≥ln＝，故⑤对.故正确的命题是①②③④⑤.9
