第29练 直线与圆[题型分析·高考展望] 直线与圆是解析几何的基础，在高考中除对本部分知识单独考查外，更多是在与圆锥曲线结合的综合题中，对相关知识进行考查.单独考查时，一般为选择、填空题，难度不大，属低中档题.直线的方程，圆的方程的求法及位置关系的判断与应用是本部分的重点.常考题型精析题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P(1,1)为圆(x－3)2＋y2＝9的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )A.2x＋y－3＝0B.x－2y＋1＝0C.x＋2y－3＝0D.2x－y－1＝0(2)已知△ABC的顶点A为(3，－1)，AB边上的中线所在直线方程为6x＋10y－59＝0，∠B的平分线所在直线方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定15\n①若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1；②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况.(2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P应建在什么地方？ 题型二 圆的方程15\n例2 (1)(2022·湖北)如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.①圆C的标准方程为________________.②圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________.(2)(2022·成都模拟)已知圆C经过点A(2，－1)，并且圆心在直线l1：y＝－2x上，且该圆与直线l2：y＝－x＋1相切.①求圆C的方程；②求以圆C内一点B为中点的弦所在直线l3的方程. 点评 求圆的方程的两种方法15\n(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆C：(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2(R>0)与y轴相切，圆心C在直线l：x－3y＝0上，且圆C截直线m：x－y＝0所得的弦长为2，求圆C的方程. 题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2022·重庆)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|等于( )A.2B.4C.6D.2(2)已知直线l过点P(0,2)，斜率为k，圆Q：x2＋y2－12x＋32＝0.①若直线l和圆相切，求直线l的方程；②若直线l和圆交于A，B两个不同的点，问是否存在常数k，使得＋与15\n共线？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 (2022·课标全国Ⅰ)已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；15\n(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积. 高考题型精练1.(2022·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－或－B.－或－C.－或－D.－或－2.已知x，y满足x＋2y－5＝0，则(x－1)2＋(y－1)2的最小值为( )A.B.C.D.3.“m＝3”是“直线l1：2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3)x＋2y－5＝0垂直”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15\n4.已知p：a＝，q：直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，则p是q的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.(2022·广东)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x－y＋＝0或2x－y－＝06.已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )A.(，＋∞)B.[，＋∞)C.[，2)D.[，2)7.已知P是直线l：3x－4y＋11＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是( )A.B.2C.D.28.若圆上一点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，则圆的方程是__________________.9.已知圆C关于y轴对称，经过点A(1,0)，且被x轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C的方程为________________.10.若直线ax＋by＝1过点A(b，a)，则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是________.11.与直线x－y－4＝0和圆A：x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆C的方程是________________________________________________________________________.12.如图所示，已知以点A(－1,2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，过点B(－2,0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.15\n(1)求圆A的方程；(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程；(3)B·B是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由. 15\n答案精析专题7解析几何第29练 直线与圆常考题型精析例1 D[由题意知圆心C(3,0)，kCP＝－.由kCP·kMN＝－1，得kMN＝2，所以弦MN所在直线的方程是2x－y－1＝0.](2)解 设B(4y1－10，y1)，由AB中点在6x＋10y－59＝0上，可得：6·＋10·－59＝0，y1＝5，∴B(10,5).设A点关于x－4y＋10＝0的对称点为A′(x′，y′)，则有⇒A′(1,7)，∵点A′(1,7)，B(10,5)在直线BC上，∴＝，故BC边所在直线的方程是2x＋9y－65＝0.变式训练1 解 如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，若P′(异于P)在直线上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.因此，供水站只有在P点处，才能取得最小值，设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，即解得 即A′(3,6).所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，解方程组 15\n得所以P点的坐标为.故供水站应建在点P处.例2 ①(x－1)2＋(y－)2＝2 ②－－1解析 ①由题意，设圆心C(1，r)(r为圆C的半径)，则r2＝2＋12＝2，解得r＝.所以圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.②方法一 令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1).又点C(1，)，所以直线BC的斜率为kBC＝－1，所以过点B的切线方程为y－(＋1)＝x－0，即y＝x＋(＋1).令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.方法二 令x＝0，得y＝±1，所以点B(0，＋1).又点C(1，)，设过点B的切线方程为y－(＋1)＝kx，即kx－y＋(＋1)＝0.由题意，得圆心C(1，)到直线kx－y＋(＋1)＝0的距离d＝＝r＝，解得k＝1.故切线方程为x－y＋(＋1)＝0.令y＝0，得切线在x轴上的截距为－－1.(2)解 ①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则 解得故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.②由①知圆心C坐标为(1，－2)，则kCB＝＝－.设直线l3的斜率为k3，由k3·kCB＝－1，可得k3＝2.故直线l3的方程为y＋＝2(x－2)，即4x－2y－13＝0.变式训练2 解 圆C：(x－x0)2＋(y－y0)2＝R2(R>0)与y轴相切，则|x0|＝R.①圆心C在直线l：x－3y＝0上，则x0＝3y0.②圆C截直线m：x－y＝0所得的弦长为2，则2＝2.③把①②代入③，消去x0，y0得R＝3，则x0＝3，y0＝1或x0＝－3，y0＝－1.15\n故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.例3 C[由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.](2)解 ①将圆的方程化简，得(x－6)2＋y2＝4.圆心Q(6,0)，半径r＝2.由题意可设直线l的方程为y＝kx＋2，故圆心到直线l的距离d＝＝.因为直线l和圆相切，故d＝r，即＝2，解得k＝0或k＝－，所以，直线l的方程为y＝2或3x＋4y－8＝0.②将直线l的方程和圆的方程联立得消去y得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0，因为直线l和圆相交，故Δ＝[4(k－3)]2－4×36×(1＋k2)>0，解得－<k<0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有而y1＋y2＝kx1＋2＋kx2＋2＝k(x1＋x2)＋4，＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，＝(6，－2).因为＋与共线，所以－2×(x1＋x2)＝6×(y1＋y2)，整理得(1＋3k)＋12＝0，解得k＝－.又因为－<k<0，所以没有符合条件的常数k.变式训练3 解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.15\n设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y).由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆.由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上.又P在圆N上，从而ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为y＝－x＋.又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，|PM|＝，所以△POM的面积为.高考题型精练1.D[由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－，故选D.]2.A[(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到点Q(1,1)的距离的平方.由已知可得点P在直线l：x＋2y－5＝0上，所以|PQ|的最小值为点Q到直线l的距离，即d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝.故选A.]3.A[由l1⊥l2得2(m＋1)(m－3)＋2(m－3)＝0，15\n∴m＝3或m＝－2.∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件.]4.A[由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切，得圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有＝1，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件.]5.A[设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.]6.C[当|＋|＝||时，O，A，B三点为等腰三角形的三个顶点，其中|OA|＝|OB|，∠AOB＝120°，从而圆心O到直线x＋y－k＝0(k>0)的距离为1，此时k＝；当k>时，|＋|>||，又直线与圆x2＋y2＝4存在两交点，故k<2，综上，k的取值范围是[，2)，故选C.]7.C[如图所示，圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心为C(1,1)，半径为r＝1.根据对称性可知四边形PACB面积等于2S△APC＝2×|PA|r＝|PA|，故|PA|最小时，四边形PACB的面积最小，由于|PA|＝，故|PC|最小时，|PA|最小，此时，直线CP垂直于直线l：3x－4y＋11＝0，故|PC|的最小值为圆心C到直线l：3x－4y＋11＝0的距离d＝＝＝2，所以|PA|＝＝＝.故四边形PACB面积的最小值为.]8.(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244解析 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线x－y15\n＋1＝0相交的弦长为2，故r2－2＝2，依据上述方程，解得或∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.9.x2＋2＝解析 ∵圆C关于y轴对称，∴圆C的圆心在y轴上，可设C(0，b)，设圆C的半径为r，则圆C的方程为x2＋(y－b)2＝r2.依题意，得解之得∴圆C的方程为x2＋2＝.10.π解析 ∵直线ax＋by＝1过点A(b，a)，∴ab＋ab＝1.∴ab＝.又|OA|＝，∴以O为圆心，OA长为半径的圆的面积为S＝π·OA2＝(a2＋b2)π≥2ab·π＝π，∴面积的最小值为π.11.(x－1)2＋(y＋1)2＝2解析 易知所求圆C的圆心在直线y＝－x上，故设其坐标为C(c，－c)，又其直径为圆A的圆心A(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离减去圆A的半径，即2r＝－＝2⇒r＝，即圆心C到直线x－y－4＝0的距离等于，故有＝⇒c＝3或c＝1，结合图形当c＝3时圆C在直线x－y－4＝0下方，不符合题意，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.12.解 (1)设圆A的半径为R.∵圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴R＝＝2.15\n∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.(2)当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1.由|AQ|＝＝1，得k＝.∴直线l的方程为3x－4y＋6＝0.∴所求直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.(3)∵AQ⊥BP，∴·＝0.∴·＝(＋)·B＝·＋·＝·.当直线l与x轴垂直时，得P.则＝，又＝(1,2)，∴·＝·＝－5.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋2).由解得P.∴＝.∴·＝·＝－＝－5.综上所述，·是定值，且·＝－5.15
