第18练 三角函数的图象与性质[题型分析·高考展望] 三角函数的图象与性质是高考中对三角函数部分考查的重点和热点，主要包括三个大的方面：三角函数图象的识别，三角函数的简单性质以及三角函数图象的平移、伸缩变换.考查题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度一般为低中档，在二轮复习中应强化该部分的训练，争取对该类试题会做且不失分.常考题型精析题型一 三角函数的图象例1 (1)(2022·课标全国Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z(2)(2022·湖北)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24).①求实验室这一天上午8时的温度；②求实验室这一天的最大温差. 16\n点评 (1)画三角函数图象用“五点法”，由图象求函数解析式逆用“五点法”是比较好的方法.(2)对三角函数图象主要确定下列信息：①周期；②最值；③对称轴；④与坐标轴交点；⑤单调性；⑥与标准曲线的对应关系.变式训练1 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω>0，|φ|<)的最小正周期是π，且f(0)＝，则( )A.ω＝，φ＝B.ω＝，φ＝C.ω＝2，φ＝D.ω＝2，φ＝(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________.题型二 三角函数的简单性质例2 设函数f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω>0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值. 16\n点评 解决此类问题首先将已知函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k(或y＝Acos(ωx＋φ)＋k)的形式，再将ωx＋φ看成θ，利用y＝sinθ(或y＝cosθ)的单调性、对称性等性质解决相关问题.变式训练2 (2022·福建)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)若0<α<，且sinα＝，求f(α)的值；(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间. 题型三 三角函数图象的变换例3 已知函数f(x)＝10sincos＋10cos2.(1)求函数f(x)的最小正周期；16\n(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.①求函数g(x)的解析式；②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0. 点评 对于三角函数图象变换问题，平移变换规则是“左加右减上加下减”并且在变换过程中只变换其中的自变量x，要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次把ωx＋φ写成ω(x＋)，最后确定平移的单位和方向.伸缩变换时注意叙述为“变为原来的”这个字眼，变换的倍数要根据横向和纵向，要加以区分.变式训练3 (2022·山东)已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n),函数f(x)＝a·b16\n，且y＝f(x)的图象过点(，)和点(，－2).(1)求m，n的值；(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间. 高考题型精练1.(2022·四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A.y＝cosB.y＝sinC.y＝sin2x＋cos2xD.y＝sinx＋cosx2.(2022·福建)将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则下列说法正确的是( )A.y＝f(x)是奇函数B.y＝f(x)的周期为π16\nC.y＝f(x)的图象关于直线x＝对称D.y＝f(x)的图象关于点(－，0)对称3.已知函数f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)，y＝f(x)的部分图象如图所示，则f()等于( )A.－B.－1C.D.14.(2022·辽宁)将函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( )A.在区间[，]上单调递减B.在区间[，]上单调递增C.在区间[－，]上单调递减D.在区间[－，]上单调递增5.将函数f(x)＝－4sin的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线x＝对称，则φ的最小正值为( )A.B.πC.πD.6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则将y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为( )16\nA.y＝sin2xB.y＝cos2xC.y＝sinD.y＝sin7.若函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，且－<φ<，则函数y＝f为( )A.奇函数且在上单调递增B.偶函数且在上单调递增C.偶函数且在上单调递减D.奇函数且在上单调递减8.(2022·湖北)函数f(x)＝4cos2cos－2sinx－|ln(x＋1)|的零点个数为________.9.函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝____________.10.(2022·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：ωx＋φ0π2πxAsin(ωx＋φ)05－50(1)请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g(x)的图象，求y＝g(x)的图象离原点O最近的对称中心. 16\n 11.(2022·重庆)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f()＝(<α<)，求cos(α＋)的值. 12.(2022·重庆)已知函数f(x)＝sinsinx－cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性.答案精析第18练 三角函数的图象与性质16\n常考题型精析例1 D[由图象知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，得2k－<x<2k＋，k∈Z，∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.](2)解 ①f(8)＝10－cos(×8)－sin(×8)＝10－cos－sin＝10－×(－)－＝10.故实验室上午8时的温度为10℃.②因为f(t)＝10－2(cost＋sint)＝10－2sin(t＋)，又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin(t＋)≤1.当t＝2时，sin(t＋)＝1；当t＝14时，sin(t＋)＝－1.于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.变式训练1 (1)D(2)f(x)＝2sin解析 (1)∵f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<)的最小正周期为π，16\n∴T＝＝π，ω＝2.∵f(0)＝2sinφ＝，即sinφ＝(|φ|<)，∴φ＝.(2)观察图象可知：A＝2且点(0,1)在图象上，∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sinφ＝.∵|φ|<，∴φ＝.又∵π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x轴形成的零点，∴ω＋＝2π，∴ω＝2.∴f(x)＝2sin.例2 解 (1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－×－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.变式训练2 解 (1)因为0<α<，sinα＝，所以cosα＝.所以f(α)＝×(＋)－＝.(2)因为f(x)＝sinxcosx＋cos2x－16\n＝sin2x＋－＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.例3 解 (1)因为f(x)＝10sincos＋10cos2＝5sinx＋5cosx＋5＝10sin＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.(2)①将f(x)的图象向右平移个单位长度后得到y＝10sinx＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sinx＋5－a的图象.又已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.所以g(x)＝10sinx－8.②要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sinx0－8＞0，即sinx0＞.由＜知，存在0＜α0＜，使得sinα0＝.由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sinx＞.因为y＝sinx的周期为2π，所以当x∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sinx＞.因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞＞1，16\n所以对任意的正整数k，都存在正整数x0∈(2kπ＋α0,2kπ＋π－α0)，使得sinx0＞.亦即，存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.变式训练3 解 (1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.因为y＝f(x)的图象过点(，)和(，－2)，所以即解得(2)由(1)知f(x)＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋).由题意知g(x)＝f(x＋φ)＝2sin(2x＋2φ＋).设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x0,2)，由题意知x＋1＝1，所以x0＝0，即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2).将其代入y＝g(x)得sin(2φ＋)＝1，因为0<φ<π，所以φ＝，因此g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos2x.由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－≤x≤kπ，k∈Z，所以函数y＝g(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ]，k∈Z.高考题型精练1.A[y＝cos＝－sin2x，最小正周期T＝＝π，且为奇函数，其图象关于原点对称，故A正确；y＝sin＝cos2x，最小正周期为π，且为偶函数，其图象关于y轴对称，故B不正确；C，D均为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，故C，D不正确.]2.D[由题意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函数，A错；它的周期为2π，B错；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错；它的对称中心是点，k∈Z，D对.]16\n3.C[由图象知，T＝＝2(－)＝，ω＝2.由2×＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝kπ－，k∈Z.又∵|φ|＜，∴φ＝.由Atan(2×0＋)＝1，知A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋)，∴f()＝tan(2×＋)＝tan＝.]4.B[y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin(2x－π).令2kπ－≤2x－π≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋π，k∈Z，则y＝3sin(2x－π)的增区间为[kπ＋，kπ＋π]，k∈Z.令k＝0得其中一个增区间为[，π]，故B正确.画出y＝3sin(2x－π)在[－，]上的简图，如图，可知y＝3sin(2x－π)在[－，]上不具有单调性，故C，D错误.]5.B[依题意可得y＝f(x)⇒y＝－4sin[2(x－φ)＋]＝－4sin[2x－(2φ－)]⇒y＝g(x)＝－4sin[4x－(2φ－)]，因为所得图象关于直线x＝对称，所以g＝±4，得φ＝π＋π(k∈Z)，故选B.]6.D[由图象知A＝1，T＝－＝，T＝π，∴ω＝2，由sin＝1，|φ|<16\n得＋φ＝⇒φ＝⇒f(x)＝sin，则图象向右平移个单位后得到的图象的解析式为y＝sin＝sin.]7.D[因为函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象关于点成中心对称，则＋φ＝kπ＋，k∈Z.即φ＝kπ－，k∈Z，又－<φ<，则φ＝－，则y＝f＝cos＝cos＝－sin2x，所以该函数为奇函数且在上单调递减.]8.2解析 f(x)＝4cos2sinx－2sinx－|ln(x＋1)|＝2sinx·－|ln(x＋1)|＝sin2x－|ln(x＋1)|，令f(x)＝0，得sin2x＝|ln(x＋1)|.在同一坐标系中作出函数y＝sin2x与函数y＝|ln(x＋1)|的大致图象如图所示.观察图象可知，两函数图象有2个交点，故函数f(x)有2个零点.9.解析 函数y＝cos(2x＋φ)向右平移个单位，得到y＝sin，即y＝sin向左平移个单位得到函数y＝cos(2x＋φ)，y＝sin向左平移个单位，得y＝sin＝sin＝－sin＝cos＝cos，即φ＝.10.解 (1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：ωx＋φ0π2πxπAsin(ωx＋φ)050－50且函数表达式为f(x)＝5sin.16\n(2)由(1)知f(x)＝5sin，因此g(x)＝5sin＝5sin.因为y＝sinx的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.令2x＋＝kπ，解得x＝－，k∈Z.即y＝g(x)图象的对称中心为，k∈Z，其中离原点O最近的对称中心为.11.解 (1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期为T＝π，从而ω＝＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….由－≤φ<，得k＝0，所以φ＝－＝－.(2)由(1)得f()＝sin(2·－)＝，所以sin(α－)＝.由<α<，得0<α－<，所以cos(α－)＝＝＝.所以cos(α＋)＝sinα＝sin[(α－)＋]＝sin(α－)cos＋cos(α－)sin＝×＋×16\n＝.12.解 (1)f(x)＝sinsinx－cos2x＝cosxsinx－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－＝sin－，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减.16
