第8练 突难点——抽象函数与函数图象[题型分析·高考展望] 抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点.对函数图象问题，以基本函数为主、由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性.常考题型精析题型一 与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1 (1)(2022·湖南)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)等于( )A.－3B.－1C.1D.3(2)(2022·课标全国Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数点评 抽象函数的条件具有一般性，对待选择题、填空题可用特例法、特值法或赋值法.也可由函数一般性质进行推理.变式训练1 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的( )A.既不充分也不必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.充要条件题型二 与抽象函数有关的综合性问题例2 (2022·辽宁)已知定义在[0,1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.若对所有x，y∈[0,1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为( )11\nA.B.C.D.点评 (1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质.(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法.变式训练2 对于函数f(x)，若在定义域内存在实数x，满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”.(1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围. 题型三 函数图象的判断与应用例3 已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为( )11\n点评 (1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点.(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法.变式训练3 (2022·课标全国Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为( )高考题型精练1.(2022·陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是( )11\nA.f(x)＝B.f(x)＝x3C.f(x)＝()xD.f(x)＝3x2.设f(x)为偶函数，对于任意的x>0，都有f(2＋x)＝－2f(2－x)，已知f(－1)＝4，那么f(－3)等于( )A.2B.－2C.8D.－83.对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.(2022·课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(0,1)B.(－1,0)∪(1，＋∞)C.(－∞，－1)∪(－1,0)D.(0,1)∪(1，＋∞)5.设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A.f(x)＋|g(x)|是偶函数B.f(x)－|g(x)|是奇函数C.|f(x)|＋g(x)是偶函数D.|f(x)|－g(x)是奇函数6.函数y＝的图象大致是( )7.定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( )11\nA.f(sinα)>f(cosβ)B.f(sinα)<f(cosβ)C.f(cosα)<f(cosβ)D.f(cosα)>f(cosβ)8.函数f(x)的定义域为A，若x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；③若f：A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数.其中的真命题是________.(写出所有真命题的序号)9.已知g(x)＝－x2－4，f(x)为二次函数，满足f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝0，且f(x)在[－1,2]上的最大值为7，则f(x)的解析式为________________________.10.方程＋＝－1的曲线即为函数y＝f(x)的图象，对于函数y＝f(x)，有如下结论：①f(x)在R上单调递减；②函数F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点；③函数y＝f(x)的值域是R；④f(x)的图象不经过第一象限.其中正确的有________.11.函数y＝f(x)为定义在R上的减函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，x，y满足不等式f(x2－2x)＋f(2y－y2)≤0，M(1,2)，N(x，y)，O为坐标原点，则当1≤x≤4时，·的取值范围为____________.12.已知函数y＝f(x)(x∈R)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1＋x)＝－f(1－x).当x∈(2,3)时，f(x)＝log2(x－1)，给出以下4个结论：①函数y＝f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称；②函数y＝f(x)是以2为周期的周期函数；③当x∈(－1,0)时，f(x)＝－log2(1－x)；④函数y＝f(|x|)在(k，k＋1)(k∈Z)上单调递增，则正确结论的序号是__________.11\n答案精析第8练 突难点——抽象函数与函数图象常考题型精析例1 (1)C (2)C解析 (1)∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1.∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1.∴f(1)＋g(1)＝－1＋1＋1＝1.(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错.B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错.C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确.D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错.变式训练1 D[①∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)的图象关于y轴对称.∵f(x)为[0,1]上的增函数，∴f(x)为[－1,0]上的减函数.又∵f(x)的周期为2，∴f(x)为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数.②∵f(x)为[3,4]上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f(x)为[－1,0]上的减函数.又∵f(x)在R上是偶函数，∴f(x)为[0,1]上的增函数.由①②知“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.]例2 B [取y＝0，则|f(x)－f(0)|<|x－0|，11\n即|f(x)|<x，取y＝1，则|f(x)－f(1)|<|x－1|，即|f(x)|<(1－x).∴|f(x)|＋|f(x)|<x＋－x＝，∴|f(x)|<.不妨取f(x)≥0，则0≤f(x)<，0≤f(y)<，∴|f(x)－f(y)|<－0＝，要使|f(x)－f(y)|<k恒成立，只需k≥.∴k的最小值为.]变式训练2 解 f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)＋f(－x)＝0有解.(1)当f(x)＝ax2＋2x－4a(a∈R)时，方程f(x)＋f(－x)＝0即2a(x2－4)＝0有解x＝±2，所以f(x)为“局部奇函数”.(2)当f(x)＝2x＋m时，f(x)＋f(－x)＝0可化为2x＋2－x＋2m＝0，因为f(x)的定义域为[－1,1]，所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1,1]上有解.令t＝2x∈[，2]，则－2m＝t＋.设g(t)＝t＋，t∈[，2].根据：“对勾函数”的单调性知g(t)＝t＋在[，1]上为减函数，在[1,2]上为增函数，所以函数g(t)＝t＋，t∈[，2]的值域为[2，]，由2≤－2m≤，得－≤m≤－1，故实数m的取值范围是[－，－1].例3 B[令g(x)＝ln(x＋1)－x⇒g′(x)＝－，当g′(x)>0时，－1<x<0.当g′(x)<0时，x>0.故g(x)<g(0)＝0，即x>0或－1<x<0时均有f(x)<0，排除A，C，D.]11\n变式训练3 B[当点P沿着边BC运动，即0≤x≤时，在Rt△POB中，|PB|＝|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝＝，则f(x)＝|PA|＋|PB|＝＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故排除A和C；当点P与点C重合，即x＝时，由上得f＝＋tan＝＋1，又当点P与边CD的中点重合，即x＝时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f＝|PA|＋|PB|＝＋＝2，知f＜f，故又可排除D.综上，选B.]高考题型精练1.D[f(x)＝，f(x＋y)＝≠·，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，A不满足题意.f(x)＝x3，f(x＋y)＝(x＋y)3≠x3·y3，不满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，B不满足题意.f(x)＝()x，f(x＋y)＝()x＋y＝()x·()y，满足f(x＋y)＝f(x)f(y)，但f(x)＝()x不是增函数，C不满足题意.f(x)＝3x，f(x＋y)＝3x＋y＝3x·3y，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且f(x)＝3x是增函数，D满足题意.]2.D[∵f(x)为偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝4，f(－3)＝f(3)，当x＝1时，f(2＋1)＝(－2)·f(2－1)，∴f(3)＝(－2)×4＝－8，∴f(－3)＝－8.]3.B[若函数y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x).此时|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，因此y＝|f(x)|是偶函数，其图象关于y轴对称.但当y＝|f(x)|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f(x)为奇函数，故“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的必要而不充分条件.]4.A[因为f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝－f(－1)＝0.当x≠0时，令g(x)＝，则g(x)为偶函数，且g(1)＝g(－1)＝0.则当x＞0时，g′(x)＝′＝＜0，故g(x11\n)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当0＜x＜1时，g(x)＞g(1)＝0⇔＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当x＜－1时，g(x)＜g(－1)＝0⇔＜0⇔f(x)＞0.综上，得使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，选A.]5.A[由题意知f(x)与|g(x)|均为偶函数.A项，偶＋偶＝偶；B项，偶－偶＝偶，错；C项与D项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立.]6.C[由3x－1≠0得x≠0，∴函数y＝的定义域为{x|x≠0}，可排除选项A；当x＝－1时，y＝＝>0，可排除选项B；当x＝2时，y＝1，当x＝4时，y＝，但从选项D的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.]7.B[因为f(x)为R上的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，又f(2－x)＝f(x)，所以f(x＋2)＝f(2－(x＋2))＝f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)以2为周期，因为f(x)在[－3，－2]上是减函数，所以f(x)在[－1,0]上也是减函数，故f(x)在[0,1]上是增函数，因为α，β是钝角三角形的两个锐角，所以α＋β<，α<－β，则0<sinα<sin＝cosβ<1，故f(sinα)<f(cosβ)，选B.]8.②③解析 当f(x)＝x2时，不妨设f(x1)＝f(x2)＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f(x1)＝f(x2)时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f(x1)≠f(x2)，故②正确；若b∈B，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f(a1)＝f(a2)，与题中条件矛盾，故③正确；函数f(x)在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f(x)不一定是单函数，故④不正确.故答案为②③.9.f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则由题意可得f(x)＋g(x)＋f(－x)＋g(－x)＝2ax2＋2c－2x2－8＝0，得a＝1，c＝4.显然二次函数f(x)在区间[－1,2]上的最大值只能在x11\n＝－1时或x＝2时取得.当x＝－1函数取得最大值7时，解得b＝－2；当x＝2函数取得最大值7时，解得b＝－，所以f(x)＝x2－2x＋4或f(x)＝x2－x＋4.10.①②③④解析 由方程＋＝－1可知，x，y不可能同时大于0，分类讨论：当x<0，y≥0时，－＝1表示双曲线的一部分；当x<0，y<0时，＋＝1表示椭圆的一部分；当x≥0，y<0时，－＝1表示双曲线的一部分；作出图象可知①③④正确，对于②的判断：由于y＝－x是双曲线－＝1和－＝1的渐近线，所以结合图形可知曲线y＝f(x)与直线y＝－x没有交点，则F(x)＝4f(x)＋3x不存在零点.11.[0,12]解析 ∵y＝f(x－1)的图象关于(1,0)对称，∴y＝f(x)关于原点对称是奇函数，又∵f(x)为R上的减函数，∴f(x2－2x)≤f(y2－2y)，∴x2－2x≥y2－2y，∴|x－1|≥|y－1|.又∵1≤x≤4，∴(x，y)满足的可行域如图.又·＝x＋2y，11\n当直线x＋2y＝0过A(4，－2)时有最小值0，当直线x＋2y＝0过B(4,4)时有最大值12.∴0≤x＋2y≤12.12.①②③解析 因为f(1＋x)＝－f(1－x)，y＝f(x)(x∈R)为奇函数，所以f(x)＝－f(2－x)，f(2－x)＝f(－x)，f(2＋x)＝f(x)，所以y＝f(x)(x∈R)是以2为周期的周期函数，②正确；所以f(2k＋x)＝f(x)，f(x－k)＝f(x＋k)＝－f(k－x)，所以f(x＋k)＝－f(k－x)，即函数y＝f(x)的图象关于点(k,0)(k∈Z)成中心对称，①正确；当x∈(－1,0)时，2－x∈(2,3)，f(x＋2)＝－f(2－x)，函数y＝f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称；所以f(x)＝f(x＋2)＝－f(2－x)＝－log2(2－x－1)＝－log2(1－x)，③正确；函数y＝f(|x|)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以④不正确.11
