第6讲 函数与导数题型一 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题例1 (13分)(2022·安徽)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值.规范解答解 (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝1＋a－2x－3x2.[1分]令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝，x1<x2，所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2).[2分]当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；当x1<x<x2时，f′(x)>0.[4分]故f(x)在(－∞，x1)和(x2，＋∞)内单调递减，在(x1，x2)内单调递增.[5分](2)因为a>0，所以x1<0，x2>0.[6分]①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值；[8分]②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2,1]上单调递减，所以f(x)在x＝x2＝处取得最大值.[10分]又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；[11分]当a＝1时，f(x)在x＝0处和x＝1处同时取得最小值；[12分]当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值.[13分]评分细则第(1)问得分点1.若没写出定义域可不扣分.2.若f′(x)<0与f′(x)>0解集出错，只得2分.3.若(－∞，x1)和(x2，＋∞)中间用∪连接，扣1分.第(2)问得分点7\n1.没根据a≥4与0<a<4分类讨论，不得分.2.当0<a<4时，没根据0<a<1，a＝1,1<a<4讨论，扣3分.3.按a>4与0<a≤4分类讨论，同样得分.4.当0<a<4时，把a＝1合并在0<a<1或1<a<4讨论，同样得分.第一步：确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R；第二步：求f(x)的导数f′(x)；第三步：求方程f′(x)＝0的根；第四步：利用f′(x)＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格；第五步：由f′(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单调性；第六步：明确规范地表述结论；第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x∈R).其中a∈R.(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)当a≠0时，求函数f(x)的单调区间与极值. 题型二 导数的综合应用问题7\n例2 (12分)(2022·课标全国Ⅰ)f(x)＝alnx＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0.(1)求b；(2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围.规范解答解 (1)f′(x)＝＋(1－a)x－b.[1分]由题设知f′(1)＝0，解得b＝1.[3分](2)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由(1)知，f(x)＝alnx＋x2－x，f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－)(x－1).[5分]①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)单调递增.所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f(1)<，即－1<，解得－－1<a<－1.[7分]②若<a<1，则>1，故当x∈(1，)时，f′(x)<0，当x∈(，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，)单调递减，在(，＋∞)单调递增.所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f()<.而f()＝aln＋＋>，所以不合题意.[9分]③若a>1，则f(1)＝－1＝<.[11分]综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞).[12分]评分细则7\n第(1)问得分点1.若导函数求错，不得分.2.若f′(1)＝0解错，只得2分.第(2)问得分点1.若没求定义域，其他正确，不扣分.2.没进行分类讨论的，不得分.漏一类扣2分.3.没有结论的扣1分.4.利用其他方法求解的，同样得分.第一步：整理函数式，对其求导数；第二步：研究函数单调性，含参数的，要依题意对参数进行讨论；第三步：应用函数单调性，解决题目涉及的问题，如存在性问题，恒成立问题，探索性问题等，主要依据是函数最值、单调性；第四步：得出综合结论；第五步：回顾反思，查易错点，验规范性.跟踪训练2 已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围. 7\n答案精析第6讲 函数与导数跟踪训练1 解 (1)当a＝1时，f(x)＝，f(2)＝，又f′(x)＝＝，f′(2)＝－.所以，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－＝－(x－2)，即6x＋25y－32＝0.(2)f′(x)＝＝.由于a≠0，以下分两种情况讨论．①当a＞0时，令f′(x)＝0，得到x1＝－，x2＝a.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－)－(－，a)a(a，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘所以f(x)在区间，(a，＋∞)内为减函数，在区间内为增函数．函数f(x)在x1＝－处取得极小值f，且f＝－a2.函数f(x)在x2＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.②当a＜0时，令f′(x)＝0，得到x1＝a，x2＝－，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：7\nx(－∞，a)a(a，－)－(－，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在区间(－∞，a)，内为增函数，在区间内为减函数．函数f(x)在x1＝a处取得极大值f(a)，且f(a)＝1.函数f(x)在x2＝－处取得极小值f(－)，且f＝－a2.综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(－，a)，单调递减区间为(－∞，－)，(a，＋∞)，极大值为1，极小值为－a2.当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，a)，(－，＋∞)，单调递减区间为(a，－)，极大值为1，极小值为－a2.跟踪训练2 解 (1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，f′(x)＝－2x＋2，切点坐标为(1,1)，切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝－2x＝.∵x∈[，e]，∴当g′(x)＝0时，x＝1.当<x<1时，g′(x)>0；当1<x<e时，g′(x)<0.故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g()＝m－2－，g(e)＝m＋2－e2，g(e)－g()＝4－e2＋<0，则g(e)<g()，7\n∴g(x)在[，e]上的最小值是g(e)．g(x)在[，e]上有两个零点的条件是解得1<m≤2＋，∴实数m的取值范围是(1,2＋]．7
