【步步高】（全国通用）2022版高考数学复习考前三个月第三篇回扣专项练2函数与导数理1.函数f(x)＝ln(x2＋2)的图象大致是( )2.(2022·长沙模拟)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)等于( )A.－2B.－1C.0D.13.已知f(x)是定义在R上的奇函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝ex－1，则f(2015)＋f(－2016)等于( )A.1－eB.e－1C.－1－eD.e＋14.已知a＝，b＝，c＝log2，则( )A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.b>a>c5.(2022·南昌模拟)设函数F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，且是函数F(x)的一个单调递增区间.将函数F(x)的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是( )A.B.C.D.6.函数f(x)的定义域为A，若当x1，x2∈A且f(x1)＝f(x2)时，总有x1＝x2，则称f(x)为单函数.例如：函数f(x)＝2x＋1(x∈R)是单函数.给出下列结论：①函数f(x)＝x2(x∈R)是单函数；②指数函数f(x)＝2x(x∈R)是单函数；③若f(x)为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数.其中正确结论的个数是( )6\nA.3B.2C.1D.07.(2022·北京昌平模拟)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝________.8.已知函数f(x)＝ax－cosx，x∈，若∀x1∈，∀x2∈，x1≠x2，<0，则实数a的取值范围是____________.9.ʃ(x2＋1)dx＝________.10.已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________.11.(2022·天津模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b<1，g(x)＝f(x)－2mx在[2,4]上单调，求m的取值范围.12.已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若a<0，求f(x)的单调区间；6\n(3)若a＝－1，函数f(x)的图象与函数g(x)＝x3＋x2＋m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围.6\n答案精析回扣专项练2 函数与导数1.D[由f(－x)＝f(x)可得函数f(x)为偶函数，又ln(x2＋2)≥ln2，故选D.]2.D[因为f(x)为R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.因为f(x＋2)为偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以f(x＋4)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，即函数f(x)的周期为8，故f(8)＋f(9)＝f(0)＋f(1)＝1.]3.B[由f(x＋2)＝f(x)知f(x)是周期为2的周期函数，∴f(2015)＝f(1)＝e－1，又∵f(x)为奇函数，∴f(－2016)＝－f(2016)＝－f(0)＝－(e0－1)＝0.∴f(2015)＋f(－2016)＝e－1.]4.A[∵a＝3>1，b＝log＝log32，则0<b<1，c＝log2<0，∴a>b>c.]5.D[∵F(x)＝f(x)＋f(－x)，x∈R，∴F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，∴F(x)为偶函数，∴为函数F(x)的一个单调递减区间.将F(x)的图象向右平移π个单位，得到一个新的函数G(x)的图象，则G(x)的一个单调递减区间是.]6.A[由单函数的定义可知，函数值相同则自变量也必须相同.依题意可得①不正确，②正确，③正确，④正确.]7.3解析 因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3.8.解析 由<0知，函数f(x)在区间上是减函数.又f′(x)＝a＋sinx，所以f′(x)≤0在区间上恒成立，即a≤－sinx在区间上恒成立.当6\n≤x≤时，≤sinx≤，所以－≤－sinx≤－，即－sinx的最小值为－，所以a≤－.9.12解析 ʃ(x2＋1)dx＝＝×33＋3＝12.10.[e，＋∞)解析 f′(x)＝＝，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即lna≥1－lnx在[1，＋∞)上恒成立.设φ(x)＝1－lnx，φ(x)max＝1，故lna≥1，a≥e.11.解 (1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.①当a>0时，f(x)在[2,3]上为增函数，故⇒⇒②当a<0时，f(x)在[2,3]上为减函数，故⇒⇒故a＝1或a＝－1，b＝0或b＝3.(2)∵b<1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.若g(x)在[2,4]上单调，则≤2或≥4，∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).12.解 (1)∵f(x)＝(x2＋x－1)ex，∴f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex.∴曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为k＝f′(1)＝4e.又∵f(1)＝e，∴所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0.(2)f′(x)＝(2ax＋1)ex＋(ax2＋x－1)ex＝[ax2＋(2a＋1)x]ex.①若－<a<0，当x<0或x>－时，f′(x)<0.当0<x<－时，f′(x)>0.6\n∴f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，；单调递增区间为.②若a＝－，则f′(x)＝－x2ex≤0，∴f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞).③若a<－，当x<－或x>0时，f′(x)<0；当－<x<0时，f′(x)>0.∴f(x)的单调递减区间为，(0，＋∞)；单调递增区间为.(3)由(2)知，f(x)＝(－x2＋x－1)ex在(－∞，－1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减.∴f(x)在x＝－1处取得极小值f(－1)＝－，在x＝0处取得极大值f(0)＝－1.由g(x)＝x3＋x2＋m，得g′(x)＝x2＋x.当x<－1或x>0时，g′(x)>0；当－1<x<0时，g′(x)<0.∴g(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1,0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.∴g(x)在x＝－1处取得极大值g(－1)＝＋m，在x＝0处取得极小值g(0)＝m.∵函数f(x)与函数g(x)的图象有3个不同的交点，∴即∴－－<m<－1.6
