专题03集合与幂指对函数相结合问题考纲要求:1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有的子集有2n个，真子集有2n－1个.3、能使用韦恩（Venn）图表达集合的关系及运算.基础知识回顾:1、集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}2、集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩＝；③A∪A＝A，A∪＝A；④A∩∁UA＝，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A，∁U（A∪B）=∁UA∩∁UB,∁U（A∩B）=∁UA∪∁UB应用举例:类型一：集合与对数函数【例1】【2022四川省成都市龙泉第二中学高三5月高考模拟】已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，则(∁RB)∩A等于()8\nA.[0,1]B.(0,1]C.(－∞，0]D.以上都不对【答案】B【解析】由题意可得：A=x|0<x<2,B=x|x>1，据此可得CRB∩A=x|0<x≤1，表示为区间的形式即：(0,1].本题选择B选项.【例2】【2022河北省正定中学高三摸底】已知集合M={x|y=},N={x|y=log2(x-2x2)},则(M∩N)=( )(A)(,)(B)(-∞,)∪[,+∞)(C)[0,](D)(-∞,0]∪[,+∞)【答案】B【解析】集合M,N都是函数的定义域,其中M=[,+∞),N=(0,),所以M∩N=[,),其在实数集中补集(M∩N)=(-∞,)∪[,+∞).类型二：集合与指数函数【例3】已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【例4】【2022重庆市高三月考试题】若集合A＝，B＝，则A∩B＝( )A．(2,4]B．[2,4]C．(－∞，0)∪(0,4]D．(－∞，－1)∪[0,4]【答案】A【解析】因为A＝＝＝，B＝＝＝，所以A∩B＝∩＝＝(2,4]．类型三：集合与三角函数8\n【例5】【2022年长郡中学高三月考】设集合M＝，N＝，那么( )A．M＝NB．M⊆NC．N⊆MD．M∩N＝∅【答案】B【例6】【2022年山东潍坊高三月考】集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )【答案】C【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，此时α表示的范围与≤α≤表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．类型四：集合与排列组合【例7】【2022保定市高三调研】已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对∀x∈A，y∈B，x<y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．【答案】17【解析】当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．【例8】【2022浙江省温州市高三摸底考试】从集合{1,2,3,4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有( )8\nA．32个B．34个C．36个D．38个【答案】A【解析】先把数字分成5组：{1,10}，{2,9}，{3,8}，{4,7}，{5,6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可．故共可组成2×2×2×2×2＝32(个)．类型五：集合与排列概率【例9】已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率；【答案】.【例10】设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为( )A．3B．4C．2和5D．3和4【答案】D【解析】分别从集合A和B中随机取出一个数，确定平面上的一个点P(a，b)，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6种情况，a＋b＝2的有1种情况，a＋b＝3的有2种情况，a＋b＝4的有2种情况，a＋b＝5的有1种情况，所以可知若事件Cn发生的概率最大，则n的所有可能值为3和4.类型六：集合与一元二次不等式【例11】【2022河南省新乡市高三第三次模拟】若集合，，则等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】，选D【例12】设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )A.B．C.D．(1，＋∞)8\n【答案】B方法、规律归纳:1、一个性质：要注意应用A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．两种方法2、两种方法：韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．3、注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．实战演练:1．【2022福建省泉州市高三3月质量检测】已知集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，，，则，故选B.2．【2022届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】若集合，集合，则等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得，,故选C.3．【2022黑龙江省大庆实验中学高三考前得分训练】8\n集合，，则集合B的子集个数为（ ）A.5B.8C.3D.2【答案】B4．【2022天津市河东区高三二模】设集合,,则=()A.(0,1)B.(-1,2)C.D.【答案】D【解析】因为，所以，应选答案D。5．【2022江西省南昌市高三第三次模拟考】已知集合，，则()A.B.C.D.【答案】D【解析】因为,,所以,则本题选择D选项.6．【四川省遂宁市2022届高三三诊考试】若集合，，则为()A.B.C.D.8\n【答案】D【解析】因，故，应选答案D。7．【河北省武邑中学2022届高三下学期第四次模拟考试】已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。8．【江西省新余市第一中学2022届高三高考全真模拟考试】已知集合，集合，则()A.B.C.D.【答案】C【解析】,,则.本题选择C选项.9．【2022江苏省南通市如东县一中高三摸底】已知向量＝(x，－1)，＝(3，y)，其中x随机选自集合{－1,1，3}，y随机选自集合{1,3,9}．(1)求的概率；(2)求的概率．【答案】.(2)设“”为事件B，则y＝3x.事件B包含的基本事件有(1,3)，(3,9)，共2个．故的概率为P(B)＝.10.A={x|≤2-x≤4},B={x|x2-3mx+2m2-m-1<0}.(1)当x∈N时,求A的非空真子集的个数.(2)若A⊇B,求实数m的取值范围.8\n8
