专题01如何破解集合间的关系类问题考纲要求:1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.2.在具体情境中，了解全集与空集的含义.基础知识回顾:集合与集合之间的关系1．集合间的基本关系表示关系 文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素AB空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}3.集合的运算性质并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A．应用举例:招数一、韦恩图:一般地，若给定的集合元素离散或者是抽象集合，则用Venn图求解．【例1】【2022湖南省长沙市长郡中学高三入学考试】已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．7\n解析：∵B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}＝{x|－1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}．而图中阴影部分表示的为属于A且不属于B的元素构成的集合，故该集合为{－1，4}．答案：{－1，4}【例2】【2022广东省珠海市高三9月摸底考试】设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝________．解析：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁UA)∩B＝{7，9}．【例3】【宁夏石嘴山市第三中学2022届高三下学期第三次模拟考试】设全集U＝R，集合，则图中阴影部分所表示的集合为()A.B.C.D.【答案】D7\n招数二、数轴图示法：若给定集合的元素连续，则用数轴图示法求解，用数轴表示时要注意端点值的取舍．【例4】【2022山西省怀仁县第一中学高三月考】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}，若，则实数a的取值范围是________．解析：（1）当B＝∅时，有a＋1≥2a－1，则a≤2.(2)当B≠∅时，若，如图．则，解得2<a≤4.综上，a的取值范围为a≤4.【例5】【2022湖北省襄阳市第四中学高三周考】已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|(x－m)(x－2)<0}，且A∩B＝(－1，n)，则m＝________，n＝________.解析 A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.招数三、正难则反:对于一些比较复杂、条件和结论之间关系不明朗，难于从正面入手的数学问题，在解题时，可调整思路，从问题的反面入手，探求已知、未知的关系.这样能起到化难为易的作用，而是问题得以解决．7\n【例6】已知集合，},若，求实数m的取值范围.方法、规律归纳:1．判断两集合的关系常有两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行分类讨论．分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答．分类讨论的一般步骤①确定标准；②恰当分类；③逐类讨论；④归纳结论．3．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常需要合理利用数轴、Venn图帮助分析．4．子集与真子集的区别与联系：集合A的真子集一定是其子集，而集合A的子集不一定是其真子集；若集合A有n个元素，则其子集个数为2，真子集个数为2－1.实战演练:1．【四川省成都市龙泉第二中学2022届高三5月高考模拟考试】已知集合A＝{x|y＝lg(2x－x2)}，B＝{y|y＝2x，x>0}，R是实数集，则(∁RB)∩A等于()A.B.(0,1]C.(－∞，0]D.以上都不对【答案】B7\n2．【2022届福建省泉州市高三3月质量检测】已知集合，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意得，，，则，故选B.3．【2022届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】若集合，集合，则等于()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得，,故选C.4．【陕西省西安市长安区第一中学高三4月模拟考试】已知,,若,则()A.B.C.或D.或或【答案】D7\n5．【辽宁省锦州市2022届高三质量检测】集合，集合，则集合与集合的关系()A.B.C.D.且【答案】D【解析】因为,所以且,选D.6．若集合，，则集合的子集共有()A.2个B.4个C.8个D.16个【答案】D【解析】集合：,集合=,则集合的子集有个.点睛：对于有限集合我们有一下结论：若一个集合中有n个元素，则它有个子集.有-1个真子集7、已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝( )A．{1,3}B．{3,7,9}C．{3,5,9}D．{3,9}解析：方法一：因为A∩B＝{3}，所以3∈A，又因为(∁UB)∩A＝{9}，所以9∈A，故选D.方法二：如图8所示，得A＝{3,9}，故选D.8、某校田径队共30人，主要专练100m，200m与400m．其中练100m的有12人，练200m的有15人，只练400m的有8人．则参加100m的专练人数为________．7\n解析：用Venn图表示A代表练100m的人员集合，B代表练200m的人员集合，C代表练400m的人员集合，U代表田径队共30人的集合，设既练100m又练200m的人数为x，则专练100m的人数为12－x.∴12－x＋15＋8＝30，解得x＝5.所以专练100m的人数为12－5＝7.答案：79、【2022江苏泰兴中学高三月考】已知集合A＝{x|1<2x≤16}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝__________.解析：由1<2x≤16，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}．而B＝{x|x<a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4，即c＝4.10、(1)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( )A．A＝BB．A∩B＝∅C．A⊆BD．B⊆A(2)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．7
