专题04新定义集合问题的破题利器考纲要求:了解创新型问题的基本解法，读懂创新型问题的基本背景.基础知识回顾:新定义题型是近几年高考命题中经常出现的一种命题方式，考查考生阅读、迁移能力和继续学习的潜能．当题目的条件中提供一种信息，需要解题者很好地把握这种信息，并恰当地译成常见数学模型，然后按通常数学模型的求解方法去解决．这种信息常常用定义的方式给出，有时规定一种运算，有时把一些未学过的知识内容拿来用定义方式给出．因此，解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算。以集合为背景的创新性问题是命题的一个热点，这类题目常以问题为核心，考查考生探究，发现的能力，常见的命题形式有：新定义、新运算与性质等．应用举例:类型一：定义新运算【例1】【2022河南郑州质检】]已知集合A，B，定义集合A与B的一种运算A⊕B，其结果如下表所示：A{1,2,3,4}{－1,1}{－4,8}{－1,0,1}B{2,3,6}{－1,1}{－4，－2,0,2}{－2，－1,0,1}A⊕B{1,4,6}∅{－2,0,2,8}{－2}按照上述定义，若M＝{－2022,0,2022}，N＝{－2022,0,2022}，则M⊕N＝________.【答案】{－2022,2022，－2022,2022}【例2】【2022贵州省贵阳市高三适应性考试】为两个非空集合，定义集合，若，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】由得，由的定义可知：，故选C.类型二：定义新概念9\n【例3】【2022北京市朝阳区高三二模】已知两个集合，满足．若对任意的，存在，使得（），则称为的一个基集．若，则其基集元素个数的最小值是____．【答案】4【解析】若基集元素个数不超过三个：互不相等），则最多可表示九个元素，因此基集元素个数的最小值是4个，如【例4】设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中的真命题是______．(写出所有真命题的序号)【答案】①②方法、规律归纳:（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解．（3）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解.实战演练:1．【2022河北武邑中学高三周考】用表示非空集合中的元素个数，定义，若，且9\n，由的所有可能值构成的集合为，那么等于（）A．4B．3C．2D．1【答案】D2．【2022湖南石门县一中高三9月月考】对于任意两个正整数，定义某种运算“※”，法则如下：当都是正奇数时，※；当不全为正奇数时，※，则在此定义下，集合※的真子集的个数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：若，且都是正奇数时，取值的可能有共种；若且不全为正奇数时，取值的可能有共种，所以有个元素，其真子集有．考点：新定义，真子集的概念．9\n【思路点晴】空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．若一个集合含有个元素，则子集个数为个，真子集个数为．判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．本题主要思路就是根据新定义，按两种情况列举符合题意的点集．3．【2022江苏省苏北三市高三年级第三次模拟考试】已知集合，对于集合的两个非空子集，，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为(视与为同一组“互斥子集”)．（1）写出，，的值；（2）求．【答案】（1），，．（2）．9\n4．【2022北京市石景山区高三3月统一练习】已知集合．对于，，定义与之间的距离为．（Ⅰ）写出中的所有元素，并求两元素间的距离的最大值；（Ⅱ）若集合满足：，且任意两元素间的距离均为2，求集合中元素个数的最大值并写出此时的集合；（Ⅲ）设集合，中有个元素，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析;（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：(1)在新定义的中令，结合集合的定义求得并求解“距离”的最大值即可；(2)数形结合，将问题转化为正方体在空间直角坐标9\n系中的坐标，利用几何关系处理该问题使得问题更加简单明了；(3)利用题意结合排列组合的知识处理的式子，然后结合组合数和不等式的性质进行放缩即可证得结论.5．【2022届北京市西城区高三二模】设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.（Ⅰ）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；（Ⅱ）若为集合的“相关数”，证明：；（Ⅲ）给定正整数.求集合的“相关数”的最小值.9\n【答案】（1）不是,是（2）见解析(3)（Ⅱ）考察集合的含有个元素的子集．中任意个元素之和一定不小于．所以一定不是集合的“相关数”．所以当时，一定不是集合的“相关数”．因此若为集合的“相关数”，必有．即若为集合的“相关数”，必有．（Ⅲ）由（Ⅱ）得．先将集合的元素分成如下组：．对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合．再将集合的元素剔除和后，分成如下组：．对于的任意一个含有个元素的子集，必有一组属于集合．这一组与上述三组中至少一组无相同元素，不妨设与无相同元素．此时这个元素之和为9\n．所以集合的“相关数”的最小值为．6.【2022浙江省温州市高三月考】设集合，在上定义运算⊕为：，其中为被4除的余数，，0，1，2，3．若，则的值为（ ）A．0B．1C．2D．3【答案】D.【解析】由题意得，，，∴，故选D.7.【2022重庆市第八中学高三月考】定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是__________．【答案】②【解析】①中，－4＋(－2)＝－6∉A，所以不正确；②中设n1，n2∈A，n1＝3k1，n2＝3k2，k1，k2∈Z，则n1＋n2∈A，n1－n2∈A，所以②正确；③令A1＝{n|n＝5k，k∈Z}，A2＝{n|n＝2k，k∈Z}，则A1，A2为闭集合，但A1∪A2不是闭集合，所以③不正确．8.【2022湖北省襄阳市第四中学高三月考】对于集合A＝{a1，a2，…，an}(n∈N*，n≥3)，定义集合S＝{x|x＝ai＋aj,1≤i＜j≤n}，记集合S中的元素个数为S(A)．若a1，a2，…，an是公差大于零的等差数列，则S(A)＝________.【答案】2n－3.9.【2022山西省怀仁县第一中学高三月考】定义A－B＝{x|x∈A且x∉B}，若M＝{1,2,3,4,5}，N＝{2,3,6}，则N－M＝________.【答案】{6}【解析】关键是理解A－B运算的法则，N－M＝{x|x∈N，且x∉M}＝{6}．答案：{6}10.设P，Q是两个数集，P中含有0,2两个元素，Q中含有1,2两个元素，定义集合P＋Q中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是________．【答案】49\n9
