专题10无处不考的函数性质问题考纲要求:1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性．2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值.3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点．基础知识回顾:1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右图象是上升的自左向右图象是下降的(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间．2．奇、偶函数的概念一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．3、奇、偶函数的性质（1）普通性质①奇偶函数的定义域关于原点对称；②奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y轴对称；③-17-\n奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则；⑤若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)．（2）在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．【注】函数的问题，一定要注意“定义域优先”的原则。考察函数的奇偶性同样要优先考虑函数的定义域是否关于原点对称。4．函数的周期性（1）周期函数的定义：若为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。（2）周期函数的性质：①若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；②若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；③如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。应用举例:类型一、利用函数性质解决函数零点问题【例1】【2022广东省惠州市高三调研】已知是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当时，．如果函数有两个零点，则实数的值为（）A．B．C．0D．【答案】D-17-\n【例2】【2022新疆兵团农二师华山中学月考】已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，可化为为双曲线在第一象限的部分，渐近线方程为当时，由，可得可得，即在处的切线方程为，此时函数有且只有个零点，因此若函数有且只有两个零点，则的取值范围为．类型二、利用函数性质解决三角函数图象问题【例3】【2022长郡中学高三入学考试】将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）-17-\nA．B．C．D．【答案】C【解析】的图象沿轴向右平移个单位后得到的函数解析式为,因为该函数为偶函数,所以即,由此可知选项C不符合题意,故选C.【例4】将函数y＝cosx＋sinx(x∈R)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )A. B. C. D.【答案】C类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题【例5】【河南省师范大学附属中学2022届高三8月开学考试】设函数f(x)=(a-2)x,x≥2(12)x-1,x<2，an=f(n)，若数列{an}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（）A.(-∞,2)B.(-∞,74)C.(-∞,138]D.[138,2)【答案】B【解析】数列{an}是单调递减数列，则f(1)>f(2)>f(3)>…，所以函数f(x)在x∈N+上是减函数，故有a-2<0121-1>a-2×2,解得a<74.所以实数a的取值范围是-∞,74.-17-\n本题选择B选项.【例6】【2022山东济南市高三摸底考试】设ω＞0，若函数f(x)＝sincos在区间上单调递增，则ω的取值范围是( )A.B.C.D．[1，＋∞)【答案】B【解析】f(x)＝sincos＝sinωx，若函数在区间上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈，故选B.点评：已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．类型四、利用函数性质解不等式【例7】【山西省孝义市2022届高三上学期入学摸底考试】若函数是奇函数，则使成立的的取值范围是__________．【答案】点睛：(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式.【例8】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f()≤2f(1)，则a的取值范围是( )A．[1,2]B.CD．(0,2]【答案】C-17-\n【解析】由已知条件得f(－x)＝f(x)，则f(log2a)＋f()≤2f(1)⇒f(log2a)＋f(－log2a)≤2f(1)⇒f(log2a)≤f(1)，又f(log2a)＝f(|log2a|)且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|log2a|≤1⇒－1≤log2a≤1，解得.点评：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．类型五、利用函数性质解决函数解析式问题【例9】f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝( )A．－x3－ln(1－x)B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x)D．－x3＋ln(1－x)【答案】C点评：已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．【例10】设是定义在(－∞,＋∞)上的奇函数,且时,,则时=______________.【答案】【解析】时,点评：已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．类型六、利用函数性质解决函数值问题【例11】【2022新疆兵团农二师华山中学高三月考】已知是定义在R上的奇函数，是偶函数，当∈(2，4)时，，则=（）A．1B．0C．2D．-2【答案】B【解析】由是定义在上的奇函数,由是偶函数关于对称的周期为-17-\n，，（奇函数）=,故选B.【例12】【江西省赣州厚德外国语学校2022届高三上学期第一次阶段测试】设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图像，则＋＝（）A.3B.2C.1D.0【答案】C点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.类型七、利用函数性质解决比较大小问题【例11】【2022江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)的图像向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0恒成立，设，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．c＞a＞b B．c＞b＞aC．a＞c＞bD．b＞a＞c【答案】D-17-\n【解析】根据已知可得函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数．，所以b＞a＞c.【例12】定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－2)＝－f(x)，且在[0,1]上是增函数，则有( )A．f<f<fB．f<f<fC．f<f<fD．f<f<f【答案】B点评：比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．类型八、函数单调性、奇偶性的判断【例13】【2022四川省成都市高三摸底】若定义在上的奇函数满足：，且，都有，则称该函数为满足约束条件的一个“函数”，有下列函数：①；②；③；④，其中为“函数”的是（）A．①B．②C．③D．④【答案】D【解析】因为①不是奇函数，③定义域不是，所以①③不合题意，又，且，都有等价于在上递增，而③在减，所以③错，而,在上递增，且为奇函数.-17-\n【例14】【河南省南阳市第一中学2022届高三实验班第一次考试】下列函数中，在上为增函数的是()A.B.C.D.【答案】B方法、规律归纳:1、判断证明函数单调性的一般方法：导数、定义、复合、图像。（1）定义法：用定义法证明函数的单调性的一般步骤是①设，且；②作差；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）④判断的正负符号；⑤根据定义下结论。（2）复合函数分析法：设，，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：增增增增减减减增减减减增-17-\n（3）导数证明法设在某个区间内有导数，若在区间内，总有，则在区间上为增函数（减函数）；反之，若在区间内为增函数（减函数），则。（4）图像法：一般通过已知条件作出函数图像的草图，从而得到函数的单调性。2、求函数的单调区间：函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等．【注】1）函数的单调性是局部性质：函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．2）单调区间的表示：单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．实战演练:1．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则不等式的解集是()A.B.C.D.以上都不正确【答案】C【解析】令，则当时：，即函数在上单调递增，由可得：当时，；当时，；不等式在上的解集为，同理，不等式在上的解集为，综上可得：不等式的解集是.2．【江西省六校2022届高三上学期第五次联考】定义在上的偶函数f(x)，其导函数为-17-\nf，(x)，若对任意的实数x，都有2f(x)+xf,(x)<2恒成立，则使x2f(x)-f(1)<x2-1成立的实数x的取值范围为（ ）A.xx≠±1B.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C.（﹣1，1）D.（﹣1，0）∪（0，1）【答案】B3．【江西省六校2022届高三上学期第五次联考】已知函数f(x)是R上的奇函数，当x>0时为减函数，且f(2)=0，则xf(x-2)<0=（ ）A.x0<x<2或x>4B.xx<0或x>4C.x0<x<2或x>2D.x0<x<2或2<x<4【答案】A-17-\n4．已知fx=1+2x-x2，那么gx=ffx()A.在区间-2,1上单调递增B.在0,2上单调递增C.在-1,1上单调递增D.在1,2上单调递增【答案】D-17-\n5．定义在上的函数的图象关于点成中心对称且对任意的实数都有且，，则()A.1B.0C.D.【答案】A【解析】∵，∴所以,f(x)是周期为3的周期函数。则f(2)=f(−1+3)=f(−1)=1,f(12)=−f(−1)=−1-17-\n∵函数f(x)的图象关于点成中心对称，∴f(1)=1∵f(0)=−2∴f(1)+f(2)+f(3)=1+1−2=0∴f(1)+f(2)+…+f(2022)=f(1)=1故选：A.6．【山西省孝义市2022届高三上学期入学摸底考试】下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是()A.B.C.D.【答案】A7．【河南省郑州市第一中学2022届高三上学期入学考试】设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.-17-\n【答案】D【解析】作出函数和的图象（如图所示），若关于的方程有四个不同的解且，则且，即，且，则在区间上单调递增，则，即的取值范围为；故选D.点睛：在处理函数的零点个数问题时，往往转化为判定两个函数的图象交点个数问题，一般利用数形结合思想进行处理；本题的难点在于判定四个解的关系及的取值范围.8．已知是定义在上的偶函数，且，若在上单调递减，则在上是()A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数【答案】D-17-\n点睛：抽象函数的周期性质：（1）若，则函数周期为；（2）若，函数周期为（3）若，函数周期为（3）若，函数周期为.9．【江苏省南京师范大学附属中学2022届高三高考模拟考试二】已知是定义在区间上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为__________．【答案】-17-\n点睛：解答本题的关键是求出函数的解析式，在时，；关键求时，的过程值得注意，这里充分运用时，)及奇函数的定义，运用转化的数学思想求出当，则，进而借助奇函数得到，从而求出。10．【湖北省荆州中学2022届高三第二次月考】已知函数满足：①对任意的，都有；②对任意的都有.则______________．【答案】66【解析】令m=n+1,,得，说明f(x)为单调递增函数，设，则，显然，否则f(f(1))=f(1)=1，与f(f(1))=3矛盾。从而,而由f(f(1))=3,即f(a)=3,又，即，所以，同时，-17-
