专题08函数的最值与值域的妙解考纲要求:1、考查求函数单调性和最值的基本方法；求函数值域或最值．常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法．2、会求一些简单函数的定义域和值域.基础知识回顾:函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意x∈I，都有f(x)≤M；①对于任意x∈I，都有f(x)≥m；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M②存在x0∈I，使得f(x0)＝m.结论M为最大值m为最小值应用举例:招数一：换元法与配方法【例1】【2022山东省枣庄八中高三月考】函数f(x)＝log2·的最小值为______．【答案】－【例2】【2022浙江省宁波市高三入学考试】求函数y＝x－的值域。【答案】{y|y≤}．【解析】令＝t，则t≥0且x＝，于是y＝－t＝－(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是{y|y≤}．【例3】函数的值域为()-12-\nA.B.C.D.【答案】C招数二：图像法【例4】.【2022届山西省实验中学高三3月联考】设函数函数若存在唯一的，使得的最小值为，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】作出函数的图象，可得的最小值为0，最大值为2；，当且仅当取得最小值，由存在唯一的，使得的值为，可得，解得，故选A．-12-\n【例5】【2022福建省福州市高三模拟考试】设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，，则f(x)的值域是( )A.∪(1，＋∞)B．[0，＋∞)C.D.∪(2，＋∞)【答案】C【解析】由x＜g(x)可得x＜－1或x＞2，由x≥g(x)，即－1≤x≤2时，∴，如图，由f(x)得图像可得：当x＜－1或x＞2时，f(x)＞2；当－1≤x≤2时，＜f(x)≤f(2)⇔≤f(x)≤0，所以f(x)的域为∪(2，＋∞)，故选D.招数三：基本不等式法【例6】【2022浙江省金华、丽水、衢州市十二校联考】设，若定义域为的函数，满足，则的最大值为__________．【答案】.【解析】设，∴-12-\n，显然，当取到最大值时，，∴，∴，当且仅当时等号成立，即的最大值是，故填：.【名师点睛】一是在使用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件，如“同向不等式”才可相加、“同向且两边同正的不等式”才可相乘.【例7】【2022河北省武安一中高三月考】求函数的值域.【答案】(－∞，－3]∪[1，＋∞)．招数四：单调性法【例8】设，则函数的最小值是______．【答案】【解析】令则.该函数是上的增函数,则.【例9】函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为( )A．1－eB．－1C．－eD．0【答案B【解析】因为f′(x)＝－1＝，当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x＝1时，f(x)取得最大值ln1－1＝－1.【例10】【2022山东烟台市高三摸底考试】已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．-12-\n【答案】－2.【解析】任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．由f＝f(x1)－f(x2)得，f＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，所以f(9)＝－2.∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.【例11】【2022贵州省贵阳市一中高三月考】已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．【答案】（1）略；（2）a＝.招数五：导数法【例12】函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是( )A．20B．18C．3D．0【答案】A【解析】因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，所以－1,1为函数的极值点．又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上f(x)max＝1，f(x)min＝－19.又由题设知在区间[－3,2]上f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.【例13】【三湘名校教育联盟.2022届高三第三次大联考】已知函数在上的最大值为3，则实数的取值范围是（）-12-\nA.B.C.D.【答案】B【解析】在上的最大值为3对恒成立且取到等号，因为，所以只需考虑对恒成立，,即时，恒成立;即时,,在时单调递增，,所以;点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题.本题的关键是，所以在上的最大值为3对恒成立，利用变量分离，分，,三种情况讨论，然后根据在不同情况下对应的值域求得的取值范围,最后取交集即可.方法、规律归纳:1、函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．2、函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定的．常用的求解方法有：-12-\n(1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件；(2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要特别注意自变量的范围；(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图象直观求出；(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围；(5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上的函数的最值问题；(6)导数法求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值3步骤①求函数在(a，b)内的极值；②求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；③将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．实战演练:1．【2022届安徽省池州市东至县高三12月联考】在锐角ΔABC中，sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值为__________．【答案】8【点睛】本题的综合性比较强，三角函数的恒等变形和函数求最值的问题相结合，sinA=sin(B+C)是解三角形的问题中用的比较多的一个公式，这样帮助我们消元，同时还要根据公式sinαcosα=tanα变形为正切关系，这样统一了角，统一了三角函数名称，才能转化为函数关系求最值.2．【重庆市2022届高三4月调研测试】设函数，若在区间的值域为，则实数的取值范围为__________．【答案】-12-\n【解析】由题意，可以考虑采用数形结合法，作出函数的图象，当时，函数单调递减，且最小值为，则令，解得，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则最大值为2，且，，综上得所求实数的取值为.点睛：此题主要考查对数函数、二次函数、分段函数的值域，以及函数单调性、最值、数形结合法等有关方面的知识，属于中高档题型，也是高频考点.用数形结合的方法解决解析几何问题时，一方面要发挥图形的直观、形象的作用；另一方面则要注意画图的准确性，完整性和对图形观察的细致，并注意结合数学运算来完成.3．【河南省息县第一高级中学2022届高三下学期第一次适应性测试】已知函数（），则的最大值为__________．【答案】4．【四川省遂宁市2022届高三三诊】函数的值域是____【答案】-12-\n【解析】因为函数在区间上都是单调递增函数，所以函数在区间上也是单调递增函数，，即函数的值域是，应填答案。5．【2022年全国普通高等学校招生统一考试数学浙江卷】已知，函数在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是__________【答案】【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：①；②；③，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题．解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论．6．【河南省南阳市第一中学2022届高三实验班第一次考试】已知函数.-12-\n(1)若的定义域和值域均是，求实数的值；(2)若对任意的，总有，求实数的取值范围.【答案】(1);(2)【解析】试题分析：（1）先将函数进行配方得到对称轴，判定出函数f（x）在[1，a]上的单调性，然后根据定义域和值域均为[1，a]建立方程组，解之即可；（2）将a与2进行比较，将条件“对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）-f（x2）|≤4”转化成对任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有f（x）max-f（x）min≤4恒成立即可．-12-\n7．【河南省息县第一高级中学2022届高三下学期第二次阶段测试】已知函数的最大值为，最小值为，则等于（）A.0B.2C.4D.8【答案】C【解析】因为，所以是奇函数，则由奇函数的性质，又因为，，即，，故，即，应选答案C。点睛：解答本题的关键是理解奇函数的一个性质：由于奇函数的图像关于坐标原点成中心对称，因此若该函数若有最大值，则必存在最小值，且在对称点处取得最小值，所以最大值与最小值之和为零。利用这一性质，先将函数解析式进行变形构造奇函数，再运用奇函数的性质进行求解，使得问题获解。8．【2022年天津市十二重点中学高三毕业班联考（二）】若函数是偶函数，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C9．【吉林省实验中学2022届高三上学期第二次模拟】已知函数的最大值和最小值分别是，则的值为A.1B.0C.-1D.-2-12-\n【答案】B【解析】由题意，得表示单位圆上动点和单位圆外一点的连线的斜率，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，设切线方程为，即，则，即的两根分别为，则，即；故选B.点睛：在处理求函数值域问题时，往往结合所给式子的几何意义进行处理可起到事半功倍的效果，常用的有：表示过点和点的直线的斜率，表示点和点的距离的平方.10．已知实数，函数，其中是自然对数的底数.若函数与有相同的值域，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A-12-
