专题09威力无穷的函数图像考纲要求:1．考查函数图象的识辨．2．考查函数图象的变换．3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．基础知识回顾:1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。（1）平移变换（左加右减，上加下减）把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，把函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像，把函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。（2）伸缩变换①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)(3)对称变换①y＝f(x)；②y＝f(x)；③y＝f(x)；④y＝ax(a>0且a≠1).(a>0且a≠1)⑤对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是-20-\n（4）翻折变换：①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到轴上方，得到函数的图像；②保留轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数的图像。4．等价变换例如：作出函数y＝的图象，可对解析式等价变形y＝⇔⇔⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．应用举例:类型一、由图象研究函数的性质【例1】【2022江西省新余市第一中学高三开学考试】对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( )A．1B．2C．3D．0【答案】B【例2】【2022江苏省南通市如东县一中高三月考】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)-20-\nC．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)【答案】C【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．类型二、由式定图，即由函数的解析式确定函数的图象【例3】【江西省赣州厚德外国语学校2022届高三上学期第一次阶段测试】函数的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【例4】【2022山西省长治二中等四校高三联考】函数的图象大致是（）-20-\n【答案】C【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.学科@网点评：由解析式确定函数图像．此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．类型三、由图定式，即由函数的图象去求函数的解析式【例5】【2022贵州七校高三联考】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝B．f(x)＝C．f(x)＝－1D．f(x)＝x－-20-\n【答案】A【解析】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.学科@网【例6】【2022河北省沧州市高三月考】如图1，定义在上的函数的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，求的解析式．图1【答案】点评：由函数图象求函数解析式的步骤：（1）定型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数类型；（2）设式：设出函数解析式；（3）列方程：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式；（4）定论：最后用表示出各段解析式，注意对应的自变量取值范围。类型四、由图定图图2ABCD【例7】【2022山东省枣庄八中高三月考】已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图2所示，则y＝－f(2－x)的图像为( ) -20-\n【答案】B点评：已知函数图像确定相关函数的图像．此类问题主要考查函数图像的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．类型五、由函数图象研究方程的根【例8】【山西省孝义市2022届高三上学期入学摸底考试】已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意可得示意图,所以,选C.-20-\n点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.【例9】函数是定义在R上的偶函数，且满足f(x+2)=f(x).当x∈[0,1]时，f(x)=2x.若在区间[-2,3]上方程ax+2a-f(x)=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A.(25,23)B.(23,45)C.(23,2)D.(1,2)【答案】A[来源:Z|xx|k.Com]-20-\n点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．学科@网类型五、由图研究函数的零点【例10】【广东省惠东县惠东高级中学2022届高三适应性考试】定义域为R的偶函数满足，当时，；函数，则在上零点的个数为A.4B.3C.6D.5【答案】D【解析】由题意得偶函数周期为2，作图可知交点个数为5，所以零点的个数为5，选D.-20-\n点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.【例11】【2022安徽省合肥市高三模拟考试】已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．【答案】5【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.类型五、由图象求参数的取值范围【例12】已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________．【答案】(0,1)[来源:Z|xx|k.Com]【解析】试题分析：由题意作出函数的图象，-20-\n关于关于的方程有两个不同的实根等价于函数，与有两个不同的公共点，由图象可知当时，满足题意，故答案为：学科@网【例13】【2022湖北省襄阳四中高三月考】已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的-20-\n的零点问题，转化为左右两边函数图象有两个交点．我们只需要画出函数图象，就可以解决这个问题．在函数的第一段中，，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为．另一段求取其过的切线方程，的范围就在这两条直接的斜率之间．学科@网类型六、由图象求不等式的解【例14】【2022河北正定一中高三月考】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为( )A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【例15】【2022大连市一中高三摸底考试】如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )A．{x|－1<x≤0}B．{x|－1≤x≤1}C．{x|－1<x≤1}D．{x|－1<x≤2}【答案】C【解析】令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．由得∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1<x≤1}．-20-\n类型七、由图象研究函数的极值【例16】【2022浙江省金华、丽水、衢州市十二校高三联考】如图，已知直线与曲线相切于两点，则有（）A．1个极大值点，2个极小值点B．2个极大值点，1个极小值点C．3个极大值点，无极小值点D．3个极小值点，无极大值点【答案】A.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．类型八、函数图像与几何概型【例17】【2022长郡中学高三入学考试】如图，设是图中边长分别为1和2的矩形区域，是内位于函数图象下方的区域（阴影部分），从内随机取一个点，则点取自内的概率为（）-20-\nA．B．C．D．【答案】C【名师点睛】本题考查几何概型、积分的几何意义，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过积分运算来完成的，把积分运算与几何概型有机的结合在一起是本本题的亮点.学科@网方法、规律归纳:“看图说话”常用的方法有(1)知图选式：①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；④从图象的循环往复，观察函数的周期性．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．(2)知式选图：①从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；-20-\n③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；④从函数的周期性，判断图象的循环往复．利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项．实战演练:1．【河南省南阳市第一中学2022届高三实验班第一次考试】函数的图象与函数的图象的交点个数为()A.3B.2C.1D.0【答案】B考点：函数的图象．2．【浙江省“七彩阳光”联盟2022届高三上学期期初联考】函数的大致图像是（）A.B.-20-\nC.D.【答案】B3．【湖南省长沙市一中2022届高三高考模拟试卷（二）】如图，有一直角墙角、两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am(0＜a＜12)，不考虑树的粗细.先用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位：）的图象大致是()A.B.C.D.【答案】C【解析】设长为，则长为，又因为要将点围在矩形内，∴，则矩形的面积为，当时，当且仅当时，，当-20-\n时，，，分段画出函数图形可得其形状与C接近，故选C.点睛：本题主要考查了函数在实际生活中的应用，解决本题的关键是将面积的表达式求出来，结合自变量的取值范围，分类讨论后求出面积的解析式；求矩形面积的表达式，又要注意点在长方形内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可.学科@网4．【河北省石家庄二中2022届高三下学期第三次模拟】已知函数，则函数的零点个数是个时，下列选项是的取值范围的子集的是（）A.B.C.D.【答案】A-20-\n5．在同一坐标系中，函数y=(1a)x与y=loga(-x)（其中a>0且a≠1）的可能是（）A.B.C.D.[来源:学+科+网Z+X+X+K]【答案】C点睛：明确函数y=(1a)x=a-x的图象与函数y=ax的图象关于y轴对称，函数y=ax的图象与函数y=logax的图象关于y=x对称，函数y=loga（-x）的图象与函数函数y=logax的图象关于y轴对称可得解．-20-\n6．如图圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )A.B.C.D.【答案】C考点：三角函数模型的应用，函数的图象．【名师点睛】本题考查三角函数模型的应用，考查学生对图形的分析与认识能力．要作出函数的图象，一般要求出函数的解析式，本题中要作出点到直线的垂线段，根据的取值范围的不同，垂足的位置不同，在时，垂足在线段上，当时，垂足在射线的反向延长线上．因此在解题时一定要注意分类讨论思想的应用．学科@网7．函数的大致图象如图所示，则下列结论成立的是()-20-\nA.B.C.D.【答案】C【解析】由图可知，所以b>0,B，D错。若当，分子为正，分母，所以，与图中不符，所以A错，经检验C符合，选C.8．已知且，若函数在区间上是增函数，则函数的图象是()A.B.C.D.【答案】A[来源:学+科+网Z+X+X+K]【解析】∵函数在区间上是增函数，∴∴在上单调递减，在上单调递增故选：A9．将函数图像绕点（1,0）顺时针旋转角得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B-20-\n点睛：解答本题的难点在于如何理解旋转后的图像是函数。依据函数的定义可知当函数的图像上的每一点处的切线存在时，旋转后的图像是函数。因此在解答本题时，先考虑两个特殊点处的切线是否存在，考虑到点旋转起点，所以当点处的导函数值存在时，即为旋转角的最大值，从而求出最大旋转角使得问题获解。学科@网10．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示：[来源:Z.xx.k.Com]则方程f[g(x)]＝0有且仅有________个根．【答案】6点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.-20-
