专题16导数法妙解极值、最值问题考纲要求:1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与-20-\n，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、知图判断函数极值【例1】【2022山东省枣庄八中高三月考】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)【答案】D【解析】由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．【例2】【2022北京市高三入学定位考试】已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为( )A．1B．2C．3D．4【答案】B-20-\n类型二、正向思维已知解析式求极值或最值【例3】【2022山东济南市高三摸底考试】设函数f(x)＝alnx－bx2(x＞0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值．【答案】；－.【例4】【2022江西吉安一中高三月考】已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值．【答案】x＋y－2＝0.；（2）见解析；【解析】由题意知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－.(1)当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－(x＞0)，因为f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.(2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知：①当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；-20-\n②当a＞0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a＞0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．类型三、逆向思维已知极值或最值求参数的值或范围【例5】【2022安徽省合肥市高三模拟考试】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.【答案】－7【解析】由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.【例6】【2022河北省沧州市高三月考】若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是( )A．[－5,0)B．(－5,0)C．[－3,0)D．(－3,0)【答案】C类型四、函数极值与最值的综合性问题【例7】【2022河南省洛阳市一中高三入学考试】已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．【答案】最小值为f(2)＝1－3ln2；.-20-\n【解析】(1)∵f′(x)＝a＋－，∴f′＝a＝1，故f(x)＝x－－3lnx，则f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)1－3ln2从而在上，f(x)有最小值，且最小值为f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，并令h(x)＝ax2－3x＋2，则，解得0＜a＜.故所求a的取值范围为.点评：求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的方法求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【例8】【2022山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点x＝1处的切线为l：3x－y＋1＝0，若x＝时，y＝f(x)有极值．(1)求a，b，c的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．【答案】a＝2，b＝－4，c＝5.；最大值为13，最小值为.-20-\n所以y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为.类型五、构造函数把不等式恒成立问题转化为求最值问题【例9】【2022广西南宁高三模拟】已知函数．（1）求函数在区间上的最小值；（2）令是函数图象上任意两点，且满足求实数的取值范围；（3）若，使成立，求实数的最大值．【答案】（1）当时，；当时，.（2）（3）.-20-\n令，则由可得或（舍）当时，则在上单调递减；当时，则在上单调递增.在上恒成立.在上单调递增.，即.实数的最大值为.【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a-20-\n即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.方法、规律归纳:1、判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．2、求解函数的最值时，要先求函数y＝f(x)在[a，b]内所有使f′(x)＝0的点，再计算函数y＝f(x)在区间内所有使f′(x)＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．实战演练:1．【2022江苏泰兴中学高三月考】若点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为（）A．1B．C．D．【答案】B2．【2022江西省新余市第一中学高三开学考试】若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是（）A．B．0C．D．1【答案】C【解析】，解得或，，解得，所以当时，函数增，函数减，所以当时，函数取得最大值，，，，所以最小值是．选-20-\nC。3．已知函数，，（为常数）（1）若在处的切线方程为（为常数），求的值；（2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围；（3）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.-20-\n4．已知函数.（1）当时，讨论的单调区间；（2）设，当有两个极值点为，且时，求的最小值.【答案】（Ⅰ）当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出的导数，通过讨论-20-\n的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）用表示，，求出的表达式，构造函数，，求出的综上，当时，的递增区间为，无递减区间；当时，的递增区间为，，递减区间为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的两个极值点是方程的两个根，则，所以，.∴.-20-\n设，，则.∵，当时，恒有，∴在上单调递减；∴，∴.5．已知函数，且（1）当，求函数的极值；（2）设，若存在，使得成立，求的取值范围。【答案】（1）；（2）令，得，列表－－-20-\n↗极大值↘↘极小值↗由表知的极大值是，的极小值是.（2）因为，所以．由，得，整理得．存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立等价于存在x＞1，使成立．因为，所以．设，则．因为时，恒成立，所以在是增函数，所以，所以，即的取值范围为．6．已知函数f(x)＝ax2＋x－xlnx.(1)若a＝0，求函数f(x)的单调区间及极值；(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．，无极小值（2）(－∞，0]．-20-\n所以函数f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(1，＋∞)．，无极小值(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1，∴f(x)＝x2＋x－xlnx，由f(x)≥bx2＋2x，得x2＋x－xlnx≥bx2＋2x，又∵x>0，∴b≤1－－恒成立．令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝，∴g(x)在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(1)＝0，∴实数b的取值范围是(－∞，0]．点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.7．【湖北省武汉市2022届高三四月调研】已知函数．（1）若，其中为自然对数的底数，求函数的单调区间；（2）若函数既有极大值，又有极小值，求实数的取值范围．【答案】（1）见解析;（2）且且．-20-\n则，，∴，∴在上单调递增，观察知，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．-20-\n8．【江苏省南京市南京师范大学附属中学2022届高三考前模拟】设为常数）.（1）当时，求的单调区间；（2）若在区间的极大值、极小值各有一个，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为.（2）-20-\n（2）设，则，令，则，令，则，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.故在处取得极大值，在处取得极小值，，所以①若，则在上单调增，故在无极值，所以；-20-\n②若，则在内至多有一个极值点，从而，于是在区间内分别有极大值、极小值各一个，则在内无极值点，从而，所以的取值范围是.9．已知函数．(Ⅰ)若,令函数,求函数在上的极大值、极小值；(Ⅱ)若函数在上恒为单调递增函数,求实数的取值范围.【答案】（1）函数在处取得极小值；在处取得极大值（2）试题解析：解：(Ⅰ)，所以由得或-20-\n减增减所以函数在处取得极小值；在处取得极大值10．【2022届北京市海淀区高三3月适应性考试】已知函数，．（Ⅰ）求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意，，都有成立．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由，当，，单调递增，所以函数在区间上单调递增，在区间上的最小值为．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知（）在时取得最小值，可知-20-\n．由，可得，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以函数（）在时取得最大值，又，可知，所以对任意，，都有成立．试题解析：（Ⅰ）解：由，可得．当，，单调递减；当，，单调递增．所以函数在区间上单调递增，又，所以函数在区间上的最小值为．-20-
