专题27实际问题中的解三角形问题考纲要求:1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．2.研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．基础知识回顾:1．仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角．(如图(a))． 图(a) 图(b)2．方位角：从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图(b))．3．方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度．4.＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.5．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.6.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解7.三角形常用的面积公式25\n(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．应用举例:类型一、测量高度问题【例1】【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2022届高三下学期第四次联合模拟考试数学（理）试题】如图，一条巡逻船由南向北行驶，在处测得山顶在北偏东方向上，匀速向北航行分钟到达处，测得山顶位于北偏东方向上，此时测得山顶的仰角，若山高为千米，（1）船的航行速度是每小时多少千米？（2）若该船继续航行分钟到达处，问此时山顶位于处的南偏东什么方向？【答案】（1）航行速度是每小时千米.（2）山顶位于处南偏东.25\n【例2】 要测量电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，求电视塔的高度．【答案】10【解析】如图，设电视塔AB高为xm，则在Rt△ABC中，由∠ACB＝45°得BC＝x.在Rt△ADB中，∠ADB＝30°，则BD＝x.在△BDC中，由余弦定理得，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°，即(x)2＝x2＋402－2·x·40·cos120°，解得x＝40，所以电视塔高为40m.点评：求解高度问题应注意的3个问题25\n类型二、测量距离问题研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．常见的命题角度有：(1)两点都不可到达；(2)两点不相通的距离；(3)两点间可视但有一点不可到达．【例3】【江苏省启东中学2022届高三上学期第一次月考】如图所示，某公路一侧有一块空地，其中，．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．【答案】（1）（2）最小面积是【解析】试题分析：（1）先利用余弦定理分别求出，再利用角度转化和正弦定理求出；（2）设，利用三角形之间的正余弦定理转化应用，解得，应用函数化简技巧，解得最小值。25\n（2）解法1：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．由＝，得ON＝·＝．所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3．令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则S△OMN＝＝(t－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为．所以M的位置为距离A点6－3km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2．25\n点睛：一般的，在平面几何中的解三角形，要掌握条件中的已知量，能够准确找到已知条件多的三角形作为切入点，同时灵活应用图形中的共同直线进行三角形之间的相互转化。在最值问题中，学会函数求最值的技巧应用，在方法一中，得到的是分式函数，通过构造得到对勾函数，求出最值；方法二中，得到三角函数，利用三角函数的特点，得到最值。【例4】如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.，若测得CA＝400m，CB＝600m，∠ACB＝60°，试计算AB的长．【答案】200m.25\n【解析】在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos60°＝280000.∴AB＝200(m)．即A，B两点间的距离为200m.【例5】如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，要测出AB的距离，其方法在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC＝60m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.【答案】200m.点评：求距离问题的2个注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．类型三、测量角度问题【例6】在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．【答案】【解析】如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.根据正弦定理得＝，25\n解得sinα＝＝.所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.【例7】如图，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．【答案】.点评：解决测量角度问题的3个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．方法、规律归纳:1.三角形中常见的结论(1)A＋B＋C＝π.(2)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sinC；cos(A＋B)＝－cosC；tan(A＋B)＝－tanC；sin＝cos；cos＝sin.(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．25\n2.判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．（2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．3.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S＝absinC＝acsinB＝bcsinA，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．实战演练:1．【福建省福清市校际联盟2022届高三上学期期中考试】如图，点在城的南偏西的方向上，现有一辆汽车在点处沿公路向城直线行驶，公路的走向是城的南偏东.开始时，汽车到的距离为9，汽车前进6到达点时，到的距离缩短了4.（Ⅰ）求的面积；（Ⅱ）汽车还要行驶多远才能到达城.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).25\n从而.25\n2．【江苏省泰州中学2022届高三10月月考】如图，摩天轮的半径为，它的最低点距地面的高度忽略不计.地上有一长度为的景观带，它与摩天轮在同一竖直平面内，且.点从最低点处逆时针方向转动到最高点处，记.（1）当时，求点距地面的高度；（2）试确定的值，使得取得最大值.25\n【答案】（1）；（2）.所以，当时，有极大值，也为最大值.因为，所以.从而当取得最大值时，取得最大值.即时，取得最大值.25\n试题点睛：本题考查了与三角函数有关的最值问题，主要还是利用导数研究函数的单调性，进一步求其极值、最值．3．【湖北省华师一附中2022届高三9月调研考试】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O（如图）的东偏南方向的海面P处，且，并以的速度向西偏北方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为，并以的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭为此时台风侵袭的区域是其中若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有即答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭.25\n4．【河北省武邑中学2022届高三上学期第二次调研】如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段是函数，的一部分，后一段是函数（，），时的图象，图象的最高点为，，垂足为.（1）求函数的解析式；（2）若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园PMFE，问点落在曲线上何处时，儿童乐园的面积最大？【答案】(1)(2)时矩形的面积最大，点的坐标为.25\n（2）在中令，得从而曲路的方程为设点，则矩形的面积，，时，，递增，时，，递减，所以时矩形的面积最大，点的坐标为.5．【福建省2022年数学基地校高三毕业班总复习】某港湾的平面示意图如图所示，，，分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向6km处，位于的北偏东方向10km处．25\n（Ⅰ）求集镇，间的距离；（Ⅱ）随着经济的发展，为缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上航线．勘测时发现：以为圆心，3km为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行．请确定码头的位置，使得之间的直线航线最短．【答案】（1）14（2）25\n6．【江苏省泰州中学2022届高三上学期开学考试】如图，在某商业区周边有两条公路和，在点处交汇，该商业区为圆心角，半径3的扇形，现规划在该商业区外修建一条公路，与，分别交于，要求与扇形弧相切，切点不在，上.（1）设试用表示新建公路的长度，求出满足的关系式，并写出的范围；（2）设，试用表示新建公路的长度，并且确定的位置，使得新建公路的长度最短.【答案】（1）；（2）时取等号.此时时，新建公路的长度最短.25\n（2）因为是圆的切线，所以.在中，，在中，，所以，所以，，设，则，当且仅当，即时取等号.此时时，新建公路的长度最短.25\n7．【江苏省海安县2022届高三上学期第一次学业质量测试】如图，已知是一幢6层的写字楼，每层高均为3m，在正前方36m处有一建筑物，从楼顶处测得建筑物的张角为.（1）求建筑物的高度；（2）一摄影爱好者欲在写字楼的某层拍摄建筑物.已知从摄影位置看景物所成张角最大时，拍摄效果最佳.问：该摄影爱好者在第几层拍摄可取得最佳效果（不计人的高度）？【答案】(1)30米;(2)当时，张角最大，拍摄效果最佳.25\n8．【江苏省南京市溧水高级中学2022届高三上学期期初模拟考试】如图，在海岸线一侧处有一个美丽的小岛，某旅游公司为方便游客，在上设立了两个报名点，满足中任意两点间的距离为.公司拟按以下思路运作：先将两处游客分别乘车集中到之间的中转点处(点异于两点)，然后乘同一艘轮游轮前往岛．据统计，每批游客处需发车2辆，处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费元，游轮每千米耗费元．（其中是正常数）设∠，每批游客从各自报名点到岛所需运输成本为元．(1)写出关于的函数表达式，并指出的取值范围；(2)问：中转点距离处多远时，最小？【答案】(1)；（2）.【解析】试题分析：（1）在中，求出相关的角，利用正弦定理，求出，表示出所需运输成本为元关于的函数表达式；（2）利用函数表达式，求出函数的导数，通过导数的符号，判断单调性求解函数的最值.25\n试题解析：(1)由题知在△ACD中，∠CAD＝，∠CDA＝α，AC＝10，∠ACD＝－α.由正弦定理知，即CD＝，AD＝，所以S＝4aAD＋8aBD＋12aCD＝(12CD－4AD＋80)a＝a＋80a＝a＋60a9．【2022-2022年上海市闵行区高三4月质量调研考试】如图所示，是某海湾旅游区的一角，其中，为了营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定在直线海岸和上分别修建观光长廊和AC，其中是宽长廊，造价是元/米，是窄长廊，造价是元/米，两段长廊的总造价为120万元，同时在线段上靠近点的三等分点处建一个观光平台，并建水上直线通道（平台大小忽略不计），水上通道的造价是元/米．(1)若规划在三角形区域内开发水上游乐项目，要求的面积最大，那么和25\n的长度分别为多少米？(2)在(1)的条件下，建直线通道还需要多少钱？【答案】（1）和AC的长度分别为750米和1500米（2）万元由得25\n，元所以，建水上通道还需要万元．所以，元所以，建水上通道还需要万元．25\n10．【2022届上海市徐汇区高三下学期二模】如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的点处，乙船在中间点处，丙船在最后面的点处，且.一架无人机在空中的点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得，.（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离.（精确到1米）【答案】（1）（2）米.25\n25
