专题31“形影不离”的三角与向量的综合问题考纲要求:1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．基础知识回顾:1．平面向量数量积有关性质的坐标表示：设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到：(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2，或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝＝.(3)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.2．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(±β)＝sincosβ±cossinβ；cos(∓β)＝coscosβ±sinsinβ；tan(±β)＝.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式：sin2＝2sincos；cos2＝cos2－sin2＝2cos2－1＝1－2sin2；tan2＝.1＋sin2＝(sin＋cos)2,1－sin2＝(sin－cos)2.4．辅助角公式：，其中sin＝，cos＝.5.正弦定理及变形：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．变形：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.6．余弦定理及变形：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．变形：cosA＝，cosB＝，cosC＝.应用举例:类型一、向量与三角函数相结合【例1】【2022年全国普通高等学校招生统一考试数学江苏卷】已知向量a=（cosx,sinx）,,.（1）若a∥b，求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的x的值【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.16\n（2）.因为，所以，从而.于是，当，即时，取到最大值3；当，即时，取到最小值.点睛:（1）向量平行：，，；（2）向量垂直：；（3）向量加减乘：．【例2】【贵州省遵义市第四中学2022届高三上学期第一次月考】已知向量，，．（1）当时，求的值；（2）若，且，求的值．16\n【答案】(1)；(2)．类型二、向量与解三角形相结合【例3】【湖北省部分重点中学2022届高三起点考试】已知，其中，，．(1)求的单调递增区间；(2)在中，角所对的边分别为，，，且向量与共线，求边长b和c的值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析;（1）根据向量数量积的公式进行化简得到的解析式，再结合三角函数的辅助角公式进行转化求解，由正弦函数的单调区间可求的单调递增区间．（2）根据条件先求出A的大小，结合余弦定理以及向量共线的坐标公式进行求解即可．16\n【例4】【辽宁省大连育明高级中学、本溪市高级中学2022届高三10月月考】的内角所对的边分别为，已知向量，，.（1）若，，求的面积；（2）求的值.【答案】(1)；(2)2.【解析】试题分析：（Ⅰ）由两向量的坐标及两向量数量积为﹣1，利用平面向量数量积运算法则计算列出关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，确定出A的度数，由a与c的值，利用正弦定理求出sinC的值，即可确定出△ABC的面积；（Ⅱ）原式利用正弦定理化简后，根据A的度数，得到B+C的度数，用C表示出B，代入关系式整理后约分即可得到结果．试题解析：（1）∵16\n∴∵∴由得，∴∴（2）点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.方法、规律归纳:1.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．2.利用向量解三角形问题的一般步骤为：第一步：分析题中条件，观察题中向量和三角形的联系；第二步：脱去向量外衣，利用数量积将已知条件转化成三角形中的边角关系；第三步：利用正弦定理或余弦定理解三角形；第四步：反思回顾，检查所得结果是否适合题意作答．实战演练:1．【山东省德州市2022届高三上学期期中考试】已知向量.（1）当时，求的值；（2）当时，(为实数），且，试求的最小值.16\n【答案】(1)或;(2).16\n2．【福建省三明市第一中学2022届高三上学期期中考试】在中，角,,所对的边为,，16\n,，，，若（1）求函数的图象的对称点；（2）若,且的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）20.（2）∴.3．【全国名校大联考2022-2022年度高三第二次联考】已知向量，，其中，且.16\n（1）求和的值；（2）若，且，求角.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）由已知得，从而由即可得和，由二倍角公式即可得解；（2）由利用两角差的正弦展开即可得解.试题解析：16\n4．【河南省南阳市2022年秋期高中三年级期中】已知向量.（1）若，求的值；（2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值.【答案】（1）；（2）时；时【解析】试题分析：（1）根据向量的平行即可得到，，问题得以解决；（2）根据平面向量的数量积公式和两角的正弦公式可得，再利用余弦函数的性质即可求出结果.试题解析：（1），即.（2）当时，即时；当，即时.5．【江西省宜春昌黎实验学校2022届高三第二次段考】在△中，角所对的边分别为，且，.(Ⅰ)求角的大小；(Ⅱ)若，求证：△为等边三角形.【答案】(1)；(2)见解析.16\n因为，所以，解得或．因为，所以．(Ⅱ)在△ABC中，，且，所以，①又，所以，代入①整理得，解得．所以，于是，即为等边三角形．点睛：利用向量的数量积转化为关于的一元二次方程，继而求出角的大小，在遇到边长的数量关系时可以运用正弦定理或者余弦定理求得边长，证得三角形形状。6．【江西省南昌市莲塘一中2022届高三10月月考】已知向量，，函数，.（1）若的最小值为-1，求实数的值；（2）是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.16\n【答案】（1）；（2）（2）令，即，∴或，∵，有四个不同的零点，∴方程和在上共有四个不同的实根，16\n∴∴∴.7．【陕西省渭南市尚德中学2022届高三上学期第二次月考】已知向量（1）若a∥b,求x的值；（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.【答案】（1）；（2）3，.8．【湖北省黄冈市2022届高三9月质量检测】已知向量，.（1）若，求的值；（2）设函数，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再把所得的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调增区间.【答案】（1）；（2）kZ.【解析】试题分析：（1）先考察向量平行，得到==,然后16\n利用其次弦化切，得到答案。（2）由数量级公式和辅助角公式可知f(x)=p=+=2，根据移动法则得到g(x)=2，g(－x)=2，从而得到单调增区间。试题解析：（1）∵,∴==,∴－cos2x===（2）f(x)=p=+=2,由题意可得g(x)=2,g(－x)=2，由2x+,－x,∴单调递增区间为kZ.9．【河南省天一大联考2022届高三上学期阶段性测试（二）】已知向量，.（Ⅰ）若，求函数的单调递减区间；（Ⅱ）若向量满足，，求的值.【答案】（1）（2）16\n所以.因为，所以.所以，从而.10．【福建省三明市第一中学2022届高三上学期第一次月考】已知向量，，函数的最大值为.(1)求的大小；(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的16\n，纵坐标不变，得到函数的图象，作出函数在的图象．【答案】(1)；(2)图象见解析.16
