专题15导数法巧解单调性问题考纲要求:1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).基础知识回顾:用导数研究函数的单调性（1）用导数证明函数的单调性证明函数单调递增（减），只需证明在函数的定义域内（）0（2）用导数求函数的单调区间求函数的定义域→求导→解不等式＞0得解集→求,得函数的单调递增（减）区间。一般地，函数在某个区间可导，＞0在这个区间是增函数一般地，函数在某个区间可导，＜0在这个区间是减函数（3）单调性的应用（已知函数单调性）一般地，函数在某个区间可导，在这个区间是增(减)函数≥【注】①求函数的单调区间，必须优先考虑函数的定义域，然后解不等式＞（＜)0（不要带等号），最后求二者的交集，把它写成区间。②已知函数的增（减）区间，应得到≥（≤）0，必须要带上等号。③求函数的单调增（减）区间，要解不等式＞0，此处不能带上等号。④单调区间一定要写成区间，不能写成集合或不等式；单调区间一般都写成开区间，不要写成闭区间；如果一种区间有多个，中间不能用“”连接。应用举例:类型一、判断或证明函数的单调性【例1】【云南省师范大学附属中学2022届高三高考适应性月考】-17-\n设函数（1）若，求过原点与相切的直线方程；（2）判断在上的单调性并证明.【答案】(1)；(2)当时，在上单调递增；当时，在上单减，在上单增．.即当时，在上单调递增；当，即时，解得，-17-\n即当时，在上单减，在上单增．综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单减，在上单增．【例2】【2022广东省珠海市高三摸底考试】函数f(x)＝ln(x＋1)－(a>1)．讨论f(x)的单调性．【答案】见解析点评：导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的3步骤(1)一求．求f′(x)；(2)二定．确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)三结论．作出结论：f′(x)＞0时为增函数；f′(x)＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．类型二、求函数的单调区间【例3】【山东省济南第一中学2022届高三上学期开学考试】已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式；-17-\n(2)求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）增区间是和，减区间是.(2)，令，即，解得，，当或时，，当时，，故的增区间是和.减区间是.【例4】【2022四川省成都市高三摸底】已知函数f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在x＝－处取得极值．(1)确定a的值；(2)若g(x)＝f(x)ex，求g(x)的单调区间．【答案】a＝；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．-17-\n【解析】(1)对f(x)求导得f′(x)＝3ax2＋2x，因为f(x)在x＝－处取得极值，所以f′＝0，即3a·＋2·＝－＝0，解得a＝(2)由(1)得g(x)＝ex，故g′(x)＝ex＋ex＝x(x＋1)(x＋4)ex.令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝－4.当x＜－4时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当－4＜x＜－1时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数；当－1＜x＜0时，g′(x)＜0，故g(x)为减函数；当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)为增函数．综上知，g(x)的减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．点评：确定函数单调区间4步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．类型三、已知函数的单调性求参数的范围【例5】【黑龙江省齐齐哈尔八中2022届高三8月月考】已知函数在点处的切线方程为.（1）若函数在时有极值，求的解析式；（2）函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.【答案】(1)f(x)＝－x3－2x2＋4x－3(2)[4，＋∞)-17-\n由①②③解得a＝－2，b＝4，c＝－3，所以f(x)＝－x3－2x2＋4x－3.(2)因为函数f(x)在区间[－2，0]上单调递增，所以导函数f′(x)＝－3x2－bx＋b在区间[－2，0]上的值恒大于或等于零，则得b≥4，所以实数b的取值范围是[4，＋∞)．【例6】【2022山西省长治二中等四校高三联考】已知函数f(x)＝alnx－ax－3(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1,2]，函数g(x)＝x3＋x2·在区间(t,3)上总不是单调函数，求m的取值范围．【答案】a＝；减区间为(－∞，－4)和(－1,0)，增区间为(－4，－1)和(0，＋∞)．-17-\n方法、规律归纳:1、利用导数求函数f(x)的单调区间的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数f(x)的单调区间．2、求函数的单调区间的“两个”方法方法一：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；-17-\n(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．实战演练:1．【河南省郑州外国语学校2022届高三上学期第一次月考】设f(x)=log121-axx-1+x为奇函数，a为常数.（1）求a的值；（2）判断函数f(x)在x∈(1,+∞)上的单调性，并说明理由.【答案】(1)a=-1（2）m<158.∴log121+x1x1-1<log121+x2x2-1，∴log121+x1x1-1+x1<log121+x2x2-1+x2，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在x∈(1,+∞)上是增函数2．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）在单调递减，在单调递增.-17-\n3．已知函数f(x)=x-alnx（a∈R）.（1）当a=2时，求曲线f(x)在x=1处的切线方程；；（2）设函数h(x)=f(x)+1+ax，求函数h(x)的单调区间；【答案】（1）x+y-2=0；（2）当a>-1时，h(x)在(0,a+1)上单调递减，在(a+1,+∞)上单调递增；当a≤-1时，h(x)在(0,+∞)上单调递增．-17-\n4．已知函数（）（1）求函数的单调增区间；（2）若函数在上的最小值为，求的值.【答案】（1）的单调增区间为（2）【解析】【试题分析】（1）先对函数（）求导，再对实数分类解出不等式的解集，进而求出函数的单调区间；（2）借助问题（1）的结论，分别就实数的取值进行分类讨论，进而-17-\n5．【2022届山东省济宁市高三3月模拟考试】已知函数．（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若，恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，讨论函数的单调性．【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出当-17-\n的函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；（Ⅱ）对进行变形，得在恒成立，再构造（），再对进行求导，即可求出，即可得到实数的取值范围；（Ⅲ）求出函数的导数，求出的零点或，分别对两个零点的大小关系作为分类讨论，即可得到函数的单调性.试题解析：解：（Ⅰ）当时，，∴切线的斜率，又，在点处的切线方程为，即．（Ⅱ）∵对，恒成立，∴在恒成立，令（），，当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴，故实数的取值范围为．-17-\n∴单调增区间为，，单调减区间为．综上所述：当时，在上单调递增；当时，单调增区间为，，单调减区间为；当时，单调增区间为，，单调减区间为．6．已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)设函数，讨论的单调性.【答案】(1)；(2)如解析所示-17-\n7．已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性.【答案】（1）.（2）时，递减区间为；当时，在递减，在递增.-17-\n8．设函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于直线．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求的单调区间．【答案】(1)；(2)的单调增区间为，单调减区间为.【解析】试题分析：（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）求导，利用导函数的符号变化确定函数的单调区间.试题解析：（1）对求导得，由在点处的切线垂直于直线知，解得.（2）由（1）知，则.-17-\n令，解得或.因为不在的定义域内，故舍去.当时，，故在内为减函数；当时，，故在内为增函数.综上，的单调增区间为，单调减区间为.9．【2022四川省成都市高三摸底】已知函数的导函数为，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集是_____________.【答案】10.【2022新疆兵团农二师华山中学高三试题】已知函数f(x)＝lnx－.(1)求证：f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；(2)若f[x(3x－2)]＜－，求实数x的取值范围．【答案】见解析-17-\n-17-
