专题17导数法妙解不等式、函数零点、方程根的问题考纲要求:1.导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，且以解答题的形式考查，难度较大，属中高档题．常见的命题角度有：(1)证明不等式；(2)不等式恒成立问题；(3)存在型不等式成立问题．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．基础知识回顾:1、求函数的极值（1）设函数在及其附近有定义，如果的值比附近所有各点的值都大（小），则称是函数的一个极大（小）值。（2）求函数的极值的一般步骤先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值。一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值。（3）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。（5）一般地，连续函数在点处有极值是=0的充分非必要条件。（6）求函数的极值一定要列表。2、用导数求函数的最值（1）设是定义在闭区间上的函数，在内有导数，可以这样求最值：17\n①求出函数在内的可能极值点（即方程在内的根）；②比较函数值，与，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.（2）如果是开区间，则必须通过求导，求函数的单调区间，最后确定函数的最值。应用举例类型一、利用导数解决不等式恒成立问题【例1】【广东省中山市第一中学2022届高三第一次统测】已知函数f(x)=x+ax+(a-1)lnx(a<0).（1）若a=-2，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）设函数g(x)=ax.若对于任意x∈(1,e]，都有f(x)>g(x)成立，求实数a的取值范围.（Ⅱ）因为f'(x)=1-ax2+a-1x=x2+(a-1)x-ax2=(x-1)(x+a)x2.令f'(x)=0，即x2+(a-1)x-a=0，解得x=1，x=-a.（1）当0<-a<1，即-1<a<0时，由f'(x)>0，得0<x<-a或x>1；由f'(x)<0，得-a<x<1.所以函数f(x)的增区间为(0,-a),(1,+∞)，减区间为(-a,1)（2）当-a>1，即a<-1时，由f'(x)>0，得0<x<1或x>-a；由f'(x)<0，得1<x<-a.17\n所以函数f(x)的增区间为(0,1),(-a,+∞)，减区间为(1,-a).（3）当-a=1，即a=-1时，f'(x)=x2-2x+1x2=(x-1)2x2≥0在(0,+∞)上恒成立，所以函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间.综上所述：当-1<a<0时，函数f(x)的增区间为(0,-a),(1,+∞)，减区间为(-a,1)；当a<-1时，函数f(x)的增区间为(0,1),(-a,+∞)，减区间为(1,-a)；当a=-1时，函数f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间.类型二、利用导数解决存在型不等式成立问题【例2】已知函数f(x)＝ln(x＋1)－－x，a∈R.(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－(a∈Z)成立，求a的最小值．【解析】(1)f′(x)＝，x>－1.当a≥时，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．当0<a<时，当－1<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当<x<时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当a≥时，f(x)的单调递减区间为(－1，＋∞)；17\n当0<a<时，f(x)的单调递减区间为，，f(x)的单调递增区间为.类型三、利用导数证明不等式【例3】已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x+1,x∈R．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在(0,+∞)上为单调增函数，求a的取值范围；（3）设m，n为正实数，且m>n，求证：m-nlnm-lnn<m+n2．【解析】（1）导函数为f'(x)=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2，由，解得并检验，再求得，切点为（1,0），由点斜式可求得切线方程。（2）由题意可f'(x)=x2+(2-2a)x+1x(x+1)2≥0在(0,+∞)上恒成立，所以在17\n上恒成立，分离参数得，所以(2a-2)≤(x+1x)min，x∈。（3）由于是多个变量，所以利用变形，换元变成一个变量，变形，为，即，所以只需证，设．求导可证h(x)>0.试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意．从而切线斜率，切点为（1,0），∴切线方程为x+8y-1=0（2），因为f（x）在上为单调增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立．当时，由，得．设，．所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．所以，所以．所以a的取值范围是．17\n（3）要证，只需证，即证，只需证，设．由（2）知h(x)在上是单调增函数，又．所以，即成立，所以类型四、利用导数研究方程的根或函数的零点【例4】【2022安徽省合肥市高三模拟考试】设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．【例5】【2022贵州七校联考】函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.(1)当a＞0时，解不等式f(x)≤0；(2)当a＝0时，求整数t的所有值，使方程f(x)＝x＋2在[t，t＋1]上有解．【解析】(1)因为ex＞0，所以不等式f(x)≤0即为ax2＋x≤0，又因为a＞0，所以不等式可化为x≤0，17\n所以不等式f(x)≤0的解集为.(2)当a＝0时，方程即为xex＝x＋2，由于ex＞0，所以x＝0不是方程的解，所以原方程等价于ex－－1＝0.令h(x)＝ex－－1，因为h′(x)＝ex＋＞0对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)内是单调递增函数，又h(1)＝e－3＜0，h(2)＝e2－2＞0，h(－3)＝e－3－＜0，h(－2)＝e－2＞0，所以方程f(x)＝x＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，所以整数t的所有值为{－3,1}．点评：利用导数研究方程根的方法研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．方法、规律归纳:1.利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法(1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.2.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.实战演练:1．【广东省汕头市金山中学2022届高三上学期期中考试】定义在内的连续可导函数满足，且对恒成立，则（）A.B.17\nC.D.【答案】D2．【甘肃省天水三中2022届高三上学期第二次阶段检测考试】已知函数，若使得，则实数的取值范围是( )A.(－∞，1]B.[1，＋∞)C.(－∞，2]D.[2，＋∞)17\n【答案】A【解析】由题意得,因为函数在单独递减，所以因此,选A.点睛：研究不等式恒成立或存在型问题，一般利用分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.3．已知函数f(x)=2ax+xlnx，g(x)=x3-2x2-1，如果对于任意的m,n∈[12,2]，都有f(m)≥g(n)成立，则实数a的取值范围为（）A.[-1,+∞)B.(-1,+∞)C.[-12,+∞)D.(-12,+∞)【答案】C4．【河南省南阳市第一中学2022届高三上学期第二次考试】已知函数，若在定义域内恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，即函数的定义域为，在17\n上恒成立，即在上恒成立，令，，令，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，，，的取值范围是，故选C.5．已知函数.(1)若函数在点处的切线方程为，求的值；(2)若，求函数在区间上的最小值；(3)对任意的，都有，求正实数的取值范围.【答案】(1)；(2)见解析(3).(2)，令得（舍）或，当时，在单调递减，在上单调递增所以；当时，在上单调递减，所以.17\n即有当时，；当时，.(3)对任意的，都有，即为在递增．因为，，在恒成立，即有在恒成立，即有令，对称轴，，则判别式，即，计算得出．则有的取值范围为.6．已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）若对，都有成立，求的取值范围；（3）当时，求在上的最大值.【答案】（1）（2）(3)试题解析：⑴时，，，令，得，解得．所以函数的单调增区间为．⑵由题意对恒成立，因为时，，所以17\n对恒成立．记，因为对恒成立，当且仅当时，所以在上是增函数，所以，因此．点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.7．已知函数在处的切线方程为.17\n（1）求的值；（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）结论是.（2）不等式整理可得，令，所以，得，当时，，函数在上单调递增，同理，函数在上单调递减，所以，综上所述，实数的取值范围是.（3）结论是.17\n证明：由题意知函数，所以，易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.因为是函数的两个零点，所以，相减得，不妨令，则，则，所以，，所以，故只需证，即证，因为，所以在上单调递增，所以，综上所述，函数总满足成立.8．已知函数，（为常数）.（1）若函数与函数在处有相同的切线，求实数的值.（2）若，且，证明：.【答案】（1）；（2）见解析.（2）若，则，设，则，，17\n，因为，所以，即单调递减，又因为，所以，即单调递减，而，所以，即.点睛：利用导数证明不等式。①证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x)。②证明f(x)>g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)>0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)≥0，由增函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)>0，即证明了f(x)>g(x)。9．设函数（Ⅰ）讨论的导函数零点个数;（Ⅱ）证明:当时,【答案】（1）当时，无零点；当时，有唯一零点，（2）见解析.17\n10．【天津市滨海新区2022届高三上学期八校联考】设函数.（1）求在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当时，使得不等式能成立的实数的取值范围.【答案】（1）（2）在区间，上单调递增，在区间上单调递减.（3）17\n17
