专题53圆锥曲线中必考的双曲线问题考纲要求:1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)． 2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3.理解数形结合的思想．基础知识回顾:一、双曲线的标准方程和几何性质15\n或或坐标轴坐标轴原点原点二、双曲线的定义:平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a＞0，c＞0}．(1)当a<c时，P点的轨迹是双曲线；(2)当a=c时，P点的轨迹是两条射线；(3)当a>c时，P点不存在．应用举例:类型一、利用定义解决焦点三角形问题【例1】过双曲线x2－y2＝8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|＝7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是( )A．28 B．14－8C．14＋8D．8解析：由双曲线定义知，|PF2|－|PF1|＝4，|QF2|－|QF1|＝4，∴|PF2|＋|QF2|－(|PF1|＋|QF1|)＝8.又|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝7，∴|PF2|＋|QF2|＝7＋8.∴△PF2Q的周长为14＋8.【例2】【2022届广西河池市高级中学高三上第三次月考】双曲线的左、右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与轴和双曲线右支分别交于两点，若点平分，则该双曲线的离心率是（）15\nA.B.C.2D.【答案】A【例3】【2022届重庆市巴蜀中学高三9月】已知双曲线C:x2169-y225=1的左、右焦点分别为F1 ， F2，点M ， N为异于F1 ， F2的两点，且M ， N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A ， B，则NA-NB的值为（）A.26B.-26C.52D.-52【答案】D点评：在双曲线的几何性质中，应充分利用双曲线的渐近线方程，简化解题过程．同时要熟练掌握以下三方面内容：(1)已知双曲线方程，求它的渐近线；(2)求已知渐近线的双曲线的方程；(3)渐近线的斜率与离心率的关系，如k＝＝＝＝.类型二、求渐近线方程15\n1、利用离心率求渐近线方程【例4】已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析：由题意，知椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率为e2＝.因为e1·e2＝，所以＝，即＝，整理可得a＝b.又双曲线C2的渐近线方程为bx±ay＝0，所以bx±by＝0，即x±y＝0.2、利用几何性质求渐近线方程【例5】【2022届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的两个焦点分别为F1-3,0，F23,0，点P是双曲线上一点，且PF1-PF2=2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.y=±2xB.y=±3xC.y=±22xD.y=±23x【答案】C3、利用双曲线方程求渐近线方程【例6】【2022届南宁市高三毕业班摸底联考】双曲线x225-y220=1的渐近线方程为（）A.y=±45xB.y=±54xC.y=±15xD.y=±255x【答案】D【解析】由题意可得a=5,b=25，所以渐近线方程为y=±255x，选D.15\n点评：求曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令－＝0，即得两渐近线方程±＝0.类型三、求离心率的值或范围．1、利用离心率定义求离心率【例7】【2022课标3，理10】已知椭圆C：，（a>b>0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】2、利用渐近线方程求离心率【例8】【2022届云南省红河州高三毕业生复习统一检测】已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】，则双曲线的渐近线为则当时，15\n设∵若坐标原点恰为△ABF2的垂心，∴OA⊥BF2，即，即，则，即，∵∴，则则离心率，故选：C．点评：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a，b，c的齐次关系式，将b用a，e表示，令两边同除以a或a2化为e的关系式，进而求解．类型四、求双曲线的方程1.利用双曲线的定义求其方程【例9】已知定点A(0,7)、B(0，－7)、C(12,2)，以C为一个焦点作过A、B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．解析：设F(x，y)为轨迹上的任意一点，∵A、B两点在以C、F为焦点的椭圆上，∴|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴长)，∴|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|，∴|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝－＝2，∴|FA|－|FB|＝2<14.由双曲线的定义知，F点在以A、B为焦点，2为实轴长的双曲线的下支上，∴点F的轨迹方程是y2－＝1(y≤－1)．2、利用渐近线方程求双曲线方程【例10】【北省重点高中联考协作体高三上学期期中】已知双曲线（）的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为__________．【答案】.15\n∴双曲线的方程为．故答案为：.点评：1．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a，b，c的关系易错易混．2.双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．方法、规律归纳:1．求双曲线离心率的值（1）直接求出，求解：已知标准方程或a，c易求时，可利用离心率公式e＝求解；（2）变用公式，整体求：如利用e＝＝＝，e＝＝；2．双曲线的离心率与渐近线方程之间有着密切的联系，二者之间可以互求．已知渐近线方程时，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出离心率e的值；而已知离心率的值，也可求出渐近线的方程，即＝.但要注意，当双曲线的焦点所在的坐标轴不确定时，上述两类问题都有两个解．实战演练:1．【2022届宁夏银川市第二中学高三下学期模拟】已知双曲线（）的离心率为，则的值为（）15\nA.B.C.D.【答案】B2．【2022天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A）（B）（C）（D）【答案】3．【2022届安徽省屯溪第一中学高三第二次月考】设点P是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上的一点，F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，已知∠F1PF2=900,且PF1=2PF2，则双曲线的离心率为（）A.2B.3C.2D.5【答案】D4.【2022届黑龙江省海林市朝鲜中学高考综合卷一】已知双曲线，若存在过右焦点的直线与双曲线交于，两点，且，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A、B两点，且15\n，故直线与双曲线相交只能交于左右两只，即A在左支，B在右支，设，，右焦点，因为，所以，，由于，所以，故，即即，选C.5．【2022课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（）A．2B．C．D．【答案】A6.【2022课标3，理5】已知双曲线C：(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】双曲线C：(a＞0,b＞0)的渐近线方程为，15\n椭圆中：，椭圆，即双曲线的焦点为，据此可得双曲线中的方程组：，解得：，则双曲线的方程为.故选B.7.【2022届湖南省衡阳市第八中学高三上学期第三次月考】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，则两条双曲线的四个焦点为顶点构成的四边形面积为（）A.10B.20C.D.40【答案】B15\n8．【2022届四川省成都市第七中学高三上学期半期】已知分别是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心、为半径的圆上，则双曲线的离心率为（）A.3B.C.2D.【答案】C【解析】由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为，则F2到渐近线的距离为=b．设F2关于渐近线的对称点为M，F2M与渐近线交于A，∴|MF2|=2b，A为F2M的中点又0是F1F2的中点，∴OA∥F1M，∴∠F1MF2为直角，∴△MF1F2为直角三角形，∴由勾股定理得4c2=c2+4b2∴3c2=4（c2﹣a2），∴c2=4a2，∴c=2a，∴e=2．故选C.9.【2022届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1-c,0，F2c,0，A是双曲线的左顶点，P-a2c,yp在双曲线的一条渐近线上，M为线段F1P的中点，且F1P⊥AM，则该双曲线C的渐近线为（）A.y=±3xB.y=±2xC.y=±2xD.y=±5x【答案】A15\n10.【2022北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m=_________.【答案】2【解析】，所以，解得.11.【2022课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.【答案】【解析】试题分析：15\n12．【2022山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为.【答案】13．【2022届北京市平谷区高三第二学期质量监控】在平面直角坐标系中，若方程15\n表示双曲线，则实数的范围__________；若此双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为__________．【答案】【解析】（1）若方程表示双曲线，则需满足，解得。（2）∵双曲线的离心率为，，∴解得，∴双曲线的方程为，其渐进线方程为。答案：(1).(2).14.【2022届江西省临川第二中学高三上期中】设双曲线的左焦点为，左顶点为，过作轴的垂线交双曲线于两点，过作垂直于，过作垂直于，设与的交点为，若到直线的距离大于，则该双曲线的离心率取值范围为__________．【答案】15\n15
