专题1.1集合的概念及其基本运算【考纲解读】内容要求5年统计A B C 集合集合及其表示 √ 2022．12022．12022．12022．12022·4子集 √ 交集、并集、补集 √ 【直击考点】题组一 常识题1．【教材改编】设全集U＝{小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则∁U(A∪B)＝________．【答案】{7，8} 2．【教材改编】已知集合A＝{a，b}，若A∪B＝{a，b，c}，则这样的集合B有________个．【答案】4 【解析】因为A∪B⊇B，A＝{a，b}，所以满足条件的B可以是{c}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，所以集合B有4个．学#3．【教材改编】设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，∁U(A∪B)＝{1，3}，A∩(∁UB)＝{2，4}，则集合B＝________．【答案】{5，6，7，8，9} 【解析】由∁U(A∪B)＝{1，3}，得1，3∉B；由A∩(∁UB)＝{2，4}，得2，4∉B，所以B＝{5，6，7，8，9}．题组二 常错题4．设集合M＝{(x，y)|y＝x2}，N＝{(x，y)|y＝2x}，则集合M∩N的子集的个数为________．【答案】8 【解析】由函数y＝x2与y＝2x的图像可知，两函数的图像在第二象限有1个交点，在第一象限有2个交点(2，4)，(4，16)，故M∩N有3个元素，其子集个数为23＝8.5．已知集合M＝{x︱x－a＝0}，N＝{x︱ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．【答案】0或1或－1 【解析】M＝{a}，∵M∩N＝N，∴N⊆M，∴N＝∅或N＝M，∴a＝0或a＝±1.6．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m＝________．8\n【答案】－ 7．若A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，则集合A与B的关系是A________B.【答案】⊆ 【解析】∵集合B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}，A＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，∴B表示奇数集，A表示除以4余1的整数，∴B⊇A.题组三 常考题8．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁UB)＝________.【答案】{x|0＜x≤1} 【解析】∵B＝{x|x＞1}，∴∁UB＝{x|x≤1}，又A＝{x|x＞0}，∴A∩(∁UB)＝{x|0＜x≤1}.9．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．【答案】4 【解析】由题意知A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．10．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________.【答案】{x|0≤x≤1} 【解析】∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．【知识清单】1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集及其符号表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2．集合间的基本关系（1）子集：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素8\n都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A，也说集合A是集合B的子集。记为或．（2）真子集：对于两个集合A与B，如果，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，则称集合A是集合B的真子集。记为．（3）空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集．（4）若一个集合含有n个元素，则子集个数为个，真子集个数为．3．集合的运算(1)三种基本运算的概念及表示名称交集并集补集数学语言A∩B={x|x∈A,且x∈B}A∪B={x|x∈A,或x∈B}CUA={x|x∈U,且xA}图形语言（2）三种运算的常见性质，，，，，．，，．,,,．【考点深度剖析】江苏新高考对集合知识的考查要求较低，均是以填空题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力.集合的基本运算一般不与其它章节知识结合考查，常单独设置题目，但有时也会以集合知识为载体，与不等式、平面解析几何知识结合考查.【重点难点突破】考点1集合的概念【1-1】【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2022届高三第二次调研测试数学试题】设集合8\n，，，则实数的值为_________【答案】【解析】因为，所以【1-2】若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝_______．【答案】0【领悟技法】与集合元素有关问题的思路：(1)确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．【触类旁通】【变式一】【苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2022届高三年级第三次调研考试】已知集合,,则集合中元素的个数为__________．【答案】5【解析】由题意可得：，即集合中元素的个数为5个.【变式二】设P、Q为两个非空集合，定义集合．若，则中元素的个数是_______．【答案】8【解析】＝，故中元素的个数是8．考点2集合间的基本关系【2-1】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．【答案】4【解析】由x2－3x＋2＝0得A＝{1,2},又B＝{1,2,3,4}，∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个【2-2】已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是______________．8\n【答案】m≤4【领悟技法】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn图帮助分析．【触类旁通】【变式1】【江苏省南通中学2022届高三上学期期中考试】已知集合，，若，则▲．【答案】【解析】【变式2】设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有_______．【答案】6【解析】集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8(个)，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6(个)考点3集合的基本运算【3-1】【2022-2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）】已知集合，，则．【答案】{x|-1<x<2}8\n【解析】【3-2】已知集合,,且,若,则实数的取值范围是________．【答案】【3-3】已知集合，，则_______．【答案】【解析】,所以.【领悟技法】1.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。2.涉及集合（交、并、补）运算，不要遗忘了空集这个特殊的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。3.有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．【触类旁通】【变式一】已知集合，，则_______．【答案】【解析】由，，得，则【变式2】【江苏省南通中学2022届高三上学期期中考试】已知集合，，若，则▲．8\n【答案】【解析】【易错试题常警惕】易错典例1：设集合，，若，则的取值范围为________．易错分析：忽视端点．温馨提示：利用数轴处理集合的交集、并集、补集运算时，要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意．易错典例2：设集合，若，则实数的取值范围是_______.易错分析：遗忘空集．正确解析：由，所以当时，满足，此时不等式无解，所以，当即时，，由可知，综上可知实数的取值范围是.温馨提示：在中容易忽视集合这一情况，预防出现错误的方法是要注意分类讨论．【素养提升之思想方法篇】化抽象为具体——数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，使问题化难为易、化抽象为具体．数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面：(1)利用Venn图，直观地判断集合的包含或相等关系．(2)利用Venn图，求解有限集合的交、并、补运算．(3)借助数轴，分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题．【典例】已知集合，集合，且，则＝________，＝________.8\n【答案】 －1 18
