专题3.1导数概念及其运算【考纲解读】内容要求备注A B C 导数及其应用 导数的概念 √ 导数的几何意义 √ 导数的运算 √ 【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编]某斜抛物体抛出后相对于水平面的高度h与抛出后的时间t的函数关系是h(t)＝－t2＋6t＋10，则在3≤t≤4这段时间内的平均速度为________m/s.【解析】平均速度为＝＝－1(m/s)．2．[教材改编]已知函数f(x)＝5－3x＋2x2，且f′(a)＝－1，则a＝________．【解析】由题意可知，f′(x)＝－3＋4x，所以f′(a)＝－3＋4a＝－1，解得a＝.3．[教材改编]曲线y＝2x3－3x＋5在点(2，15)处的切线的斜率为________．【解析】因为y′＝6x2－3，所以在点(2，9)处切线的斜率k＝6×22－3＝21.题组二 常错题4．若函数f(x)＝4x3＋a2＋a，则f′(x)＝__________．【解析】f′(x)＝(4x3＋a2＋a)′＝12x2.本题易出现一种求导错解：f′(x)＝12x2＋2a＋1，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.5．函数y＝的导函数为____________．-5-\n【解析】y′＝＝.本题易出现用错商的求导法则的情况．题组三 常考题6．已知函数f(x)＝ax3－x＋2的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2，6)，则a＝________．7．函数y＝在其极值点处的切线方程为________________．【解析】y′＝，令y′＝0，得x＝1，此时y＝e，即极值点为(1，e)，函数在该点处的切线斜率为零，故切线方程为y＝e.【知识清单】1．导数的运算1．基本初等函数的导数公式(sinx)′＝cosx，(cosx)′＝－sinx，(ax)′＝axlna，(ex)′＝ex，(logax)＝1xlna，(lnx)′＝1x.2．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)•g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)f(x)g(x)′＝f′(x)g(x)－f(x)g′(x)[g(x)]2(g(x)≠0)．3．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′•ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．考点2导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．【考点深度剖析】-5-\n【重点难点突破】考点1导数的运算【1-1】求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝；(3)y＝ln(2x－5)．【答案】(1)2xsinx＋x2cosx.(2).(3).【1-2】已知f1(x)＝sinx＋cosx，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n≥2)，则f1＋f2＋…＋f2014＝________.【答案】0【解析】f2(x)＝f1′(x)＝cosx－sinx，f3(x)＝(cosx－sinx)′＝－sinx－cosx，-5-\nf4(x)＝－cosx＋sinx，f5(x)＝sinx＋cosx，以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x)，又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0，∴f1＋f2＋…＋f2014＝503f1＋f2＋f3＋f4＋f1＋f2＝0.【思想方法】1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．2．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．【温馨提醒】区别“积的导数”与“复合函数的导数”的差异考点2导数的几何意义【2-1】已知函数f(x)＝3x＋cos2x＋sin2x，a＝f′，f′(x)是f(x)的导函数，则过曲线y＝x3上一点P(a，b)的切线方程为________.【答案】3x－y－2＝0.【2-2】已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1))，则m等于________.【答案】－2【解析】∵f′(x)＝，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图像的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m<0，于是解得m＝－2-5-\n【思想方法】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k；(3)已知过某点M(x1，f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0))，利用k＝求解．【温馨提醒】在解决曲线的切线问题时要注意辨别是求“曲线上某点(一定在曲线上)处的切线方程”，还是求“过某点(可能在曲线上、也可能不在曲线上)的切线方程，前者只有一条，而后者包括了前者，后者可能不止一条【易错试题常警惕】1、知曲线的切线求参数问题，一定要注意所给的点是否是切点．如：若存在过点的直线与曲线和都相切，则．【分析】设过点的直线与曲线相切于点，所以切线方程为，即，又在切线上，所以，解得或，当时，由与相切可得，当时，由与相切可得．综上可得，或．【易错点】在解题中，未对的位置进行判断，误认为是切点．2、函数的求导问题，一定要先化简解析式，使之变成能用八个求导公式求导的函数的和、差、积、商，再求导．如：若，则．【分析】，所以．【易错点】容易出现的错误．-5-
