专题3.1导数概念及其运算基础巩固题组一、填空题1．设y＝x2ex，则y′＝________.【答案】(2x＋x2)ex【解析】y′＝2xex＋x2ex＝(2x＋x2)ex.2．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2x·f′(1)＋lnx，则f′(1)＝________.【答案】－1【解析】由f(x)＝2xf′(1)＋lnx，得f′(x)＝2f′(1)＋，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.3．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是________．【解析】y′＝cosx＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.【答案】2x－y＋1＝04．(2022·苏州调研)已知曲线y＝lnx的切线过原点，则此切线的斜率为________．【答案】5．若曲线y＝ax2－lnx在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.【答案】【解析】因为y′＝2ax－，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，解得a＝.6．(2022·南师附中月考)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________.-4-\n【答案】0【解析】由图形可知：f(3)＝1，f′(3)＝－，∵g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1－1＝0.7．(2022·苏北四市模拟)设曲线y＝在点处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a＝________.【答案】－1【解析】∵y′＝，∴由条件知＝－1，∴a＝－1.8．(2022·全国Ⅱ卷)已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________．【答案】8二、解答题9．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角α的取值范围．解 (1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，所以斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，所以切线方程为3x＋3y－11＝0.(2)由(1)得k≥－1，所以tanα≥－1，所以α∈∪.10．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0-4-\n在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．能力提升题组11．(2022·山东卷改编)若函数y＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质，下列函数：①y＝sinx；②y＝lnx；③y＝ex；④y＝x3.其中具有T性质的是________(填序号)．【答案】①【解析】若y＝f(x)的图象上存在两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，则f′(x1)·f′(x2)＝－1.对于①：y′＝cosx，若有cosx1·cosx2＝－1，则当x1＝2kπ，x2＝2kπ＋π(k∈Z)时，结论成立；对于②：y′＝，若有·＝－1，即x1x2＝－1，∵x1＞0，x2>0，∴不存在x1，x2，使得x1x2＝－1；对于③：y′＝ex，若有ex1·ex2＝－1，即ex1＋x2＝－1.显然不存在这样的x1，x2；对于④：y′＝3x2，若有3x·3x＝－1，即9xx＝－1，显然不存在这样的x1，x2.12．(2022·合肥模拟改编)点P是曲线x2－y－lnx＝0上的任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为________．【答案】-4-\n【解析】点P是曲线y＝x2－lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线y＝x－2的距离最小，直线y＝x－2的斜率为1，令y＝x2－lnx，得y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，故曲线y＝x2－lnx上和直线y＝x－2平行的切线经过的切点坐标为(1,1)，点(1,1)到直线y＝x－2的距离等于，∴点P到直线y＝x－2的最小距离为.13．若函数f(x)＝x2－ax＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】[2，＋∞)14．已知函数f(x)＝x－，g(x)＝a(2－lnx)(a>0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解 根据题意有f′(x)＝1＋，g′(x)＝－.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a，所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)．所以y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，所以y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线.-4-
