第25课利用导数研究函数的极值或最值1．（2022重庆高考）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】D【解析】当时，，∴此时，函数递增.当时，，∴此时，函数递减.当时，，∴此时，函数递减.当时，，∴此时，函数递增.∴函数有极大值，极小值,选D.2．（2022湖南高考）设直线与函数的图象分别交于点，则当达到最小时的值为（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由题，，令，则，令，解得，5\n∵时，，时，，∴当时，达到最小．即．3．（2022北京高考）已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求的值；（2）当时，求函数在区间上的最大值为，求的取值范围.【解析】（1），．∵曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，∴，∴，解得．（2）记，当时，，∴，令，解得，；与在上的情况如下：00由此可知：当时，函数在区间上的最大值为；当时，函数在区间上的最大值小于．因此，的取值范围是．5\n4．（2022深圳一模）已知函数(实数为常数)的图象过原点，且在处的切线为直线．（1）求函数的解析式；（2）若常数，求函数在区间上的最大值．【解析】（1）由，得．由，得，∴，即，解得．∴（2）由（1）知．的取值变化情况如下：00极大值极小值∵，，，∴函数的大致图象如右图：①当时，；……11分②当时，．……13分综上可知5\n5．（2022广州一模）已知函数．（1）求函数的单调递增区间；（2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．【解析】（1）∵，∴．当时，，当时，令，得．当时，令，得．综上：当时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为．（2）由（1）知，时，的取值变化情况如下：00极小值极大值∴，，∵对任意，函数在上都有三个零点，∴，即解得．∵对任意，恒成立，∴．∴实数的取值范围是．5\n6．（2022济南质检）已知函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．【解析】（1），∴所求的切线方程为，即．（2）过点向曲线作切线，设切点为，则．则切线方程为，将代入上式，整理得．∵过点可作曲线的三条切线，∴方程（*）有三个不同实数根．记，=．令，解得或1．∴的变化情况如下表极大值极小值∴；．∴当且仅当即∴时，函数有三个不同零点．故的范围是．5
