专题3.2利用导数研究函数的极值与最值【考纲解读】内容要求备注A B C 导数及其应用 利用导数研究函数的单调性与极值 √ 【直击考点】题组一 常识题1．[教材改编]函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间是______________．【解析】f′(x)＝ex－2，令f′(x)>0，解得x>ln2，则函数f(x)＝ex－2x的单调递增区间为(ln2，＋∞)．2．[教材改编]函数f(x)＝x3－12x的极小值是________，极大值是________．【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，解得x＝－2或x＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，3．[教材改编]一条长为2a的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积之和最小，两段铁丝的长分别是________，________．【解析】设两段铁丝的长分别为x，2a－x.则两个正方形的面积之和为S＝＋＝－＋，则S′(x)＝－，令S′(x)＝0得x＝a.当x<a时，S′(x)<0；当x>a时，S′(x)>0.所以S在x＝a处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是a.题组二 常错题4．函数y＝x2－lnx的单调递减区间为______________．【解析】y＝x2－lnx，y′＝x－＝＝(x>0)．令y′＜0，得0<x-7-\n＜1，∴单调递减区间为(0，1)．5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是____________．【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.6．已知f(x)＝xex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，若∃x1，x2∈R，使f(x2)≤g(x1)成立，则实数a的取值范围是________．题组三 常考题7．若函数f(x)＝kx－lnx在区间(2，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是________________________________________________________________________．【解析】f′(x)＝k－，由已知得f′(x)≥0在(2，＋∞)上恒成立，故k≥.因为x>2，所以0<<，故k的取值范围是.8．函数f(x)＝x－lnx在(2，＋∞)上的单调性是__________________． 【解析】f′(x)＝1－＝，令f′(x)>0，得x>1，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，所以函数f(x)在(2，＋∞)上是增函数．【知识清单】考点1运用导数求函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为增函数．f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)上为减函数．考点2运用导数求函数的极值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．考点3运用导数求函数的最值-7-\n(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．【考点深度剖析】【重点难点突破】考点1运用导数求函数的单调性【1-1】已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．【答案】(1)k＝1.(2)单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．-7-\nx∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．【1-1】【1-2】已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是__________.【答案】3【思想方法】求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．【温馨提醒】在函数f(x)的定义域内研究函数单调性．考点2运用导数求函数的极值【2-1】已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值．【答案】(1)a＝e.(2)当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．【解析】(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.(2)f′(x)＝1－，-7-\n①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna.x∈(－∞，lna)，f′(x)<0；x∈(lna，＋∞)，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝lna处取得极小值，且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．【2-2】已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则f(2)＝__________.【答案】18【思想方法】求函数极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格；(4)由f′(x)＝0根的两侧导数的符号来判断f′(x)在这个根处取极值的情况．【温馨提醒】判断函数极值时要注意导数为0的点不一定是极值点，所以求极值时一定要判断导数为0的点左侧与右侧的单调性，然后根据极值的定义判断是极大值还是极小值．考点3运用导数求函数的最值【3-1】已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．【答案】(1)单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)(1－k)e.-7-\n【解析】(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)－ek－1所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.【3-1】设函数f(x)＝lnx－ax，g(x)＝ex－ax，其中a为实数．若f(x)在(1，＋∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范围．【答案】(e，＋∞)．【思想方法】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．-7-\n【温馨提醒】极值是函数局部性质，最值是函数整体性质【易错试题常警惕】1、已知函数的极值求参数问题，一定要注意在极值点处左右两端导函数的符号．如：已知在时有极值，求，的值．【分析】，由题意得，即，解之得或，当，时，恒成立，所以在处无极值，舍去．所以，．【易错点】用导数求极值时容易忽视左右两端导函数的符号而致误．-7-
