专题3.2利用导数研究函数的极值与最值班级__________姓名_____________学号___________得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置上(共10题，每小题6分，共计60分)．1.【2022课标II，理11改编】若是函数的极值点，则的极小值为______【答案】【解析】2.【江苏省泰州中学2022届高三摸底考试】对于函数，若存在区间，当时的值域为（），则称为倍值函数．若是倍值函数，则实数的取值范围是．【答案】【解析】试题分析：由题意得有两个不同的解，，则，因此当时，，当时，，从而要使有两个不同的解，需3.【南京市2022届高三年级学情调研】已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是.-11-\n【答案】[－2，8]【解析】试题分析：，；由，所以当时，；当时，；当时，；因此实数的取值范围是4.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2022届高三10月联考】已知函数在处取得极小值10，则的值为▲．【答案】【解析】5.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2022届高三10月联考】定义在上的可导函数，已知的图象如图所示，则的增区间是▲．【答案】（﹣∞，2）【解析】试题分析：由，，所以的增区间是（﹣∞，2）6.【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2022届高三10月联考】若实数满足，则的最小值为▲．【答案】5-11-\n【解析】7.【泰州中学2022-2022年度第一学期第一次质量检测】已知函数，若函数在上有极值，则实数的取值范围为．【答案】【解析】试题分析：由题意得在上有零点，即8.【江苏省如东高级中学2022届高三上学期第二次学情调研】已知函数，当时，的取值范围为，则实数的取值范围是____________．【答案】【解析】试题分析:因为当时,,所以当时,,函数单调递减；当时,,函数单调递增；函数在处取最小值.画出函数的图象,结合函数的图象可以看出当,函数总能取到最小值,故应填答案.-11-\n9.已知函数，如果当时，不等式恒成立，则实数的取值范围________.【答案】10.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是________.【答案】【解析】因为函数有两个极值点，由.所以有两个不同的正实数根，令，所以.令所以（小于零不成立）.所以可得，解得.综上所以.二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。(共4题，每小题10分，共计40分)．-11-\n11.若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．【答案】(1)a＝0，b＝－3.(2)g(x)的极值点为－2.【解析】(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－212．【2022高考新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.-11-\n因此，存在唯一使得即，-11-\n13.【2022高考天津理数】（本小题满分14分）设函数,，其中(I)求的单调区间；(II)若存在极值点，且，其中，求证：；（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析【解析】（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论：（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.-11-\n（2）当时，令，解得，或.当变化时，，的变化情况如下表：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，-11-\n，所以.（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，14【2022高考江苏卷】已知函数.-11-\n设.（1）求方程的根;（2）若对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；（3）若，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】（1）①0②4（2）1【解析】（1）因为，所以.①方程，即，亦即，所以，于是，解得.②由条件知.因为对于恒成立，且，-11-\n因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.若，则，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点”矛盾.-11-
