利用导数解决函数的极值、最值[考试要求] 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0图象形如山峰形如山谷极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点提醒：(1)函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点)．(2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点．2．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．\n2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的极大值不一定比极小值大．( )(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．( )(3)函数的极大值一定是函数的最大值．( )(4)开区间上的单调连续函数无最值．( )[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√二、教材习题衍生1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)( )A．无极大值点、有四个极小值点B．有三个极大值点、一个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点C [设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1，x2，x3，x4.当x＜x1时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，则x＝x1为极大值点，同理，x＝x3为极大值点，x＝x2，x＝x4为极小值点，故选C．]2．设函数f(x)＝＋lnx，则( )A．x＝为f(x)的极大值点B．x＝为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点D [f′(x)＝－＋＝(x＞0)，当0＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，所以x＝2为f(x)的极小值点．]\n3．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．－1 [f′(x)＝－1，令f′(x)＝0得x＝1.当x∈(0,1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，e]时，f′(x)＜0.∴当x＝1时，f(x)取得最大值，且f(x)max＝f(1)＝ln1－1＝－1.]4．函数f(x)＝x3－12x的极小值为________，极大值为________．－16 16 [f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，即3x2－12＝0解得x＝±2，当x＜－2时，f′(x)＞0，当－2＜x＜2时，f′(x)＜0，当x＞2时，f′(x)＞0，因此x＝－2是极大值点，x＝2是极小值点，f(x)极大＝f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16，f(x)极小＝f(2)＝23－12×2＝－16.]考点一 利用导数解决函数的极值问题 利用导数研究函数极值问题的一般流程 根据函数图象求值问题[典例1－1] 函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象如图所示，则x＋x等于( )A．B．C．D．C [因为函数f(x)的图象过原点，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函数f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2.由题意知x1，x2是函数f(x)的极值点，所以x1，x2是f′(x)＝0的两个根，所以x1＋x2＝，x1x2\n＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝，故选C．]点评：可导函数在极值点处的导数一定为零，是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号． 求已知函数的极值[典例1－2] 已知函数f(x)＝(x－2)(ex－ax)，当a＞0时，讨论f(x)的极值情况．[解] ∵f′(x)＝(ex－ax)＋(x－2)(ex－a)＝(x－1)(ex－2a)，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln2a(a＞0)．①当a＝时，f′(x)＝(x－1)(ex－e)≥0，∴f(x)在R上单调递增，故f(x)无极值．②当0＜a＜时，ln2a＜1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2a)ln2a(ln2a,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x)有极大值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2，极小值f(1)＝a－e.③当a＞时，ln2a＞1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，1)1(1，ln2a)ln2a(ln2a，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗故f(x)有极大值f(1)＝a－e，极小值f(ln2a)＝－a(ln2a－2)2.综上，当0＜a＜时，f(x)有极大值－a(ln2a－2)2，极小值a－e；当a＝时，f(x)无极值；当a＞时，f(x)有极大值a－e，极小值－a(ln2a－2)2.点评：求极值时，要注意f′(x)＝0的根是否在定义域内． 已知函数极值求参数的值或范围[典例1－3] (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________.(2)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.若f(x)在x＝1处取得极小值，求a\n的取值范围．(1)－7 [由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7.](2)[解] 由f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，得f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex.若a＞1，则当x∈时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax－1≤x－1＜0，所以f′(x)＞0.所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)．点评：已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．1．已知函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则实数c的值为( )A．6B．2C．2或6D．0B [由f′(2)＝0可得c＝2或6.当c＝2时，结合图象(图略)可知函数先增后减再增，在x＝2处取得极小值；当c＝6时，结合图象(图略)可知，函数在x＝2处取得极大值．故选B．]2．已知三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则＝________.1 [f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由图象知，方程f′(x)＝0的两根为－1和2，则有即∴＝＝＝1.]3．(2019·江苏高考节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x\n)的导函数，若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3,1,3}中，求f(x)的极小值．[解] 因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b).令f′(x)＝0，得x＝b或x＝.因为a，b，都在集合{－3,1,3}中，且a≠b，所以＝1，a＝3，b＝－3.此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1.列表如下：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)×(1＋3)2＝－32.考点二 利用导数求函数的最值1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．[典例2](2020·青岛模拟)已知函数f(x)＝excosx－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．[解] (1)因为f(x)＝excosx－x，所以f′(x)＝ex(cosx－sinx)－1，f′(0)＝0.又因为f(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.\n(2)设h(x)＝ex(cosx－sinx)－1，则h′(x)＝ex(cosx－sinx－sinx－cosx)＝－2exsinx.当x∈时，h′(x)＜0，所以h(x)在区间上单调递减．所以对任意x∈，有h(x)＜h(0)＝0，即f′(x)＜0.所以函数f(x)在区间上单调递减．因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.点评：当导函数y＝f′(x)无法判断正负时，可令g(x)＝f′(x)再求g′(x)，先判断g(x)＝f′(x)的单调性，再根据单调性确定y＝f′(x)的正负号．已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a＞0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．[解] (1)f′(x)＝－a(x＞0)，①当a≤0时，f′(x)＝－a＞0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a＞0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，当0＜x＜时，f′(x)＝＞0；当x＞时，f′(x)＝＜0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)①当0＜≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f\n(2)＝ln2－2a.②当≥2，即0＜a≤时，函数f(x)在区间[1,2]上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.③当1＜＜2，即＜a＜1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数．又f(2)－f(1)＝ln2－a，所以当＜a＜ln2时，最小值是f(1)＝－a；当ln2≤a＜1时，最小值为f(2)＝ln2－2a.综上可知，当0＜a＜ln2时，函数f(x)的最小值是f(1)＝－a；当a≥ln2时，函数f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.考点三 利用导数解决生活中的优化问题 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．(4)回归实际问题，结合实际问题作答．[典例3](2020·江苏高考)某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．(1)求桥AB的长度；\n(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k＞0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？[解] (1)如图，设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．由条件知，当O′B＝40时，BB1＝－×403＋6×40＝160，则AA1＝160.由O′A2＝160，得O′A＝80.所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝120(米)．(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．设F(x，y2)，x∈(0,40)，则y2＝－x3＋6x，EF＝160－y2＝160＋x3－6x.因为CE＝80，所以O′C＝80－x.设D(x－80，y1)，则y1＝(80－x)2，所以CD＝160－y1＝160－(80－x)2＝－x2＋4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，则f(x)＝k＋k＝k(0＜x＜40)．f′(x)＝k＝x(x－20)，令f′(x)＝0，得x＝20.x(0,20)20(20,40)\nf′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝20时，f(x)取得最小值．答：(1)桥AB的长度为120米；(2)当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．点评：实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等一般都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f′(x)＝0求出极值点(注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，若函数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值．某市自来水厂向全市生产与生活供水，蓄水池(蓄量足够大)在每天凌晨0点时将会有水15千吨，水厂每小时向池中注水2千吨，同时从池中向全市供水，若已知x(0≤x≤24)小时内供水总量为10千吨，且当蓄水量少于3千吨时，供水就会出现紧张现象．(1)一天内将在哪个时间段内出现供水紧张现象？(2)若将每小时向池内注水2千吨改为每小时向池内注水a(a＞2)千吨，求a的最小值，使得供水紧张现象消除．[解] (1)设x小时后的蓄水池水量为y千吨，则y＝15＋2x－10(0≤x≤24)，当供水出现紧张现象时，y＜3，即15＋2x－10＜3，解得：2＜＜3，∴4＜x＜9.∴一天内将在4点到9点时间段内出现供水紧张现象．(2)设x小时后的水池蓄水量关于x的函数为f(x)，则f(x)＝15＋ax－10(0≤x≤24)，若无供水紧张现象，则f(x)≥3在[0,24]上恒成立，∴a≥在(0,24]上恒成立，设g(x)＝(0＜x≤24)，则g′(x)＝，∴当0＜x＜时，g′(x)＞0，当＜x≤24时，g′(x)＜0，∴g(x)在上单调递增，在上单调递减，∴当x＝时，g(x)取得最大值g＝.∴a的最小值为.
