专题3.2利用导数研究函数的极值与最值基础巩固题组一、填空题1．下列函数：①y＝x3；②y＝ln(－x)；③y＝xe－x；④y＝x＋.其中，既是奇函数又存在极值的是________(填序号)．【答案】④【解析】由题意可知，②，③中的函数不是奇函数，①中，函数y＝x3单调递增(无极值)，④中的函数既为奇函数又存在极值．2．(2022·海门中学适应性训练)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函数f(x)的一个极值点，则实数a＝________.【答案】53．(2022·北京卷改编)设函数f(x)＝则f(x)的最大值为________．【答案】2【解析】当x>0时，f(x)＝－2x<0；当x≤0时，f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，当x<－1时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)是减函数．∴f(x)≤f(－1)＝2，∴f(x)的最大值为2.4．(2022·南通调研)若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为________．【答案】9【解析】f′(x)＝12x2－2ax－2b，则f′(1)＝12－2a－2b＝0，则a＋b＝6，又a>0，b>0，则t＝ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．5．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.【答案】1-6-\n【解析】由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝－a＝0，得x＝，当0<x<时，f′(x)>0；当x>时，f′(x)<0.∴f(x)max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－3)∪(6，＋∞)7．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是________(填序号)．【答案】④【解析】因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；④中，f(－1)＞0，f′(－1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.8．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)【解析】∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.二、解答题9．已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；-6-\n(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．10．(2022·衡水中学二调)已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x2＋ax－3)ex(a为实数)．(1)当a＝5时，求函数y＝g(x)在x＝1处的切线方程；(2)求f(x)在区间[t，t＋2](t>0)上的最小值．解 (1)当a＝5时，g(x)＝(－x2＋5x－3)ex，g(1)＝e.又g′(x)＝(－x2＋3x＋2)ex，故切线的斜率为g′(1)＝4e.所以切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)极小值①当t≥时，在区间[t，t＋2]上f(x)为增函数，-6-\n所以f(x)min＝f(t)＝tlnt.②当0<t<时，在区间上f(x)为减函数，在区间上f(x)为增函数，所以f(x)min＝f＝－.能力提升题组11．(2022·盐城一模)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象与x轴相切于一点A(m,0)(m≠0)，且f(x)的极大值为，则m的值为________．【答案】12．函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则下列结论：①a>0，b<0，c>0，d>0；②a>0，b<0，c<0，d>0；③a<0，b<0，c>0，d>0；④a>0，b>0，c>0，d<0.其中，结论成立的是________(填序号)．【答案】①【解析】由函数y＝f(x)的图象知，a>0，f(0)＝d>0.又x1，x2是函数f(x)的极值点，且f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0，∴x1，x2是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由图象知，x1>0，x2>0∴因此b<0，且c>0.13．(2022·镇江期末)若函数f(x)＝－2x3＋2tx2＋1存在唯一的零点，则实数t的取值范围为________．-6-\n【答案】14．(2022·苏北四市调研)如图，OA是南北方向的一条公路，OB是北偏东45°方向的一条公路，某风景区的一段边界为曲线C.为方便游客观光，拟过曲线C上某点P分别修建与公路OA，OB垂直的两条道路PM，PN，且PM，PN的造价分别为5万元/百米、40万元/百米．建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则曲线C符合函数模型y＝x＋(1≤x≤9)，设PM＝x，修建两条道路PM，PN的总造价为f(x)万元．题中所涉及长度单位均为百米．(1)求f(x)的解析式；(2)当x为多少时，总造价f(x)最低？并求出最低造价．解 (1)在题图所示的直角坐标系中，因为曲线C的方程为y＝x＋(1≤x≤9)，PM＝x，所以点P坐标为，直线OB的方程为x－y＝0，则点P到直线x－y＝0的距离为＝＝，又PM的造价为5万元/百米，PN的造价为40万元/百米．则两条道路总造价为f(x)＝5x＋40·＝5(1≤x≤9)．(2)因为f(x)＝5，-6-\n所以f′(x)＝5＝，令f′(x)＝0，解得x＝4，列表如下：x(1,4)4(4,9)f′(x)－0＋f(x)极小值所以当x＝4时，函数f(x)有最小值，且最小值为f(4)＝5＝30，即当x＝4时，总造价最低，最低造-6-
