专题3.4利用导数研究函数的极值，最值【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测导数在研究函数中的应用了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.2022•浙江文科21，理科8，22；2022•浙江文科21，理科22；2022•浙江卷20..1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点：(1)熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2)熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.【知识清单】1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．对点练习：9\n【2022课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.1【答案】A【解析】2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．对点练习：【2022北京，理19】已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】9\n所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.【考点深度剖析】导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式的证明、方程等结合考查，且有综合化更强的趋势．【重点难点突破】考点1应用导数研究函数的极（最）值问题【1-1】【2022河北武邑三调】已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，求函数的单调增区间.【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）当时，增区间，当时，增区间，当时，增区间.【解析】试题分析：（1）函数的定义域为，令，得9\n(舍去).然后列表可求得：函数的极小值为，无极大值；（2）令，得,然后利用分类讨论思想对分三种情况进行讨论.试题解析：（1）函数的定义域为，令，得(舍去).当变化时，的取值情况如下:减极小值增所以，函数的极小值为，无极大值.【1-2】【2022新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，；(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】9\n试题解析：（Ⅰ）的定义域为.且仅当时，，所以在单调递增，因此当时，所以（II）由（I）知，单调递增，对任意因此，存在唯一使得即，当时，单调递减；当时，单调递增.因此在处取得最小值，最小值为于是，由单调递增9\n【领悟技法】1.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．2.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．【触类旁通】【变式一】已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（）A．2B．3C．D．【答案】D【解析】因,即,故题设,所以,由于,因此当时,9\n单调递增；当时,单调递减,所以函数在处取极大值,应选D.【变式二】已知函数,若是的一个极大值点,则实数的取值范围为．【答案】【解析】因,即,由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根在的两边,即,也即,所以.【易错试题常警惕】易错典例：已知函数f(x)＝(x－k)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．正确解析：(1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.令f′(x)＝0，得x＝k－1.f(x)与f′(x)的情况如下：x(－∞，k－1)k－1(k－1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．9\n由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝；当k－1≥1时，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.温馨提醒：1．求函数极值时，易于误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2．极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．【学科素养提升之思想方法篇】_____化整为零，积零为整——分类讨论思想1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．2.分类讨论思想的常见类型 ⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； ⑵问题中的条件是分类给出的； ⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； ⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.【典例】【2022浙江台州4月调研】已知函数f(x)=13x3+12ax2+bx(a,b∈R).（1）若函数f(x)在(0,2)上存在两个极值点，求3a+b的取值范围；（2）当a=0,b≥-1时，求证：对任意的实数x∈[0,2]，|f(x)|≤2b+83恒成立.【答案】(1)3a+b的取值范围(-8,0);(2)见解析.【解析】试题分析：（1）f'(x)=x2+ax+b=0在(0,2)上有两个实根，根据二次函数根的分布列不等式组，{f(0)>0f(2)>0Δ>00<-a2<2，将问题转化为线性规划求取值范围；(2)当a=0时，f(x)=13x3+bx，利用导数分b≥0和-1≤b<09\n两类情况讨论函数的单调性和最值，转化为证明2b+83≥|f(x)|max.试题解析：（1）f'(x)=x2+ax+b，由已知可得f'(x)=0在(0,2)上存在两个不同的零点，故有{f'(0)>0f'(2)>0Δ>0-a2∈(0,2)，即{b>02a+b+4>0a2-4b>0a∈(-4,0)，令z=3a+b，由图可知-8<z<0，故3a+b的取值范围(-8,0).（2）证明：f(x)=13x3+bx(b≥-1,x∈[0,2])，所以f'(x)=x2+b，当b≥0时，f'(x)≥0在[0,2]上恒成立，则f(x)在[0,2]上单调递增，故0=f(0)≤f(x)≤f(2)=2b+83，所以|f(x)|≤2b+83；当-1≤b<0时，由f'(x)=0，解得x=-b∈(0,2)，则f(x)在[0,-b]上单调递减，在[-b,2]上单调递增，所以f(-b)≤f(x)≤max{f(0),f(2)},因为f(0)=0,f(2)=2b+83>0,f(-b)=23b-b<0，所以-b(-b+3)≤4成立.综上所述，对任意的实数x∈[0,2],|f(x)|≤2b+83恒成立.9
