二、基础小题练透热点专练1 集合、复数、常用逻辑用语一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·新高考山东卷)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝( )A.{x|2＜x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜4}D.{x|1＜x＜4}解析 A∪B＝∪＝.故选C.答案 C2.(2020·全国Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )A.2B.3C.4D.6解析 A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.故选C.答案 C3.(2020·全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝( )A.－4B.－2C.2D.4解析 A＝{x|－2≤x≤2}，B＝.由A∩B＝{x|－2≤x≤1}，知－＝1，所以a＝－2.故选B.答案 B4.(2020·北京卷)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1，2)，则i·z＝( )\nA.1＋2iB.－2＋iC.1－2iD.－2－i解析 z＝1＋2i，∴i·z＝i(1＋2i)＝－2＋i.故选B.答案 B5.(2020·全国Ⅲ卷)若(1＋i)＝1－i，则z＝( )A.1－iB.1＋iC.－iD.i解析 因为＝＝＝－i，所以z＝i.故选D.答案 D6.(2020·全国Ⅰ卷)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )A.0B.1C.D.2解析 法一 z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2.法二 |z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|(1＋i)(－1＋i)|＝|1＋i||－1＋i|＝2.故选D.答案 D7.(2020·天津卷)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 由a2＞a，得a2－a＞0，解得a＞1或a＜0，∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.故选A.答案 A8.(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析 (1)若k为偶数，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，有sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ；若k为奇数，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β，有sinα＝sin[(2n＋1)π－β]＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ.充分性成立.(2)若sinα＝sinβ，则α＝2kπ＋β或α＝2kπ＋π－β(k∈Z)，即α＝2kπ＋β或α＝(2k＋1)π－β(k∈Z)，故α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z).\n必要性成立.故应为充分必要条件.故选C.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，则集合N可能为( )A.{1，2，3，4，5}B.{4，5，6}C.{4，5}D.{3，4，5}解析 由集合M＝{1，2，3，4，5}，M∩N＝{4，5}，可得集合N必含有元素4和5，但不能含有1，2，3，根据选项，可得集合N可能为{4，5，6}，{4，5}.故选BC.答案 BC10.已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}.若N⊆M，则实数a的值可能为( )A.－1B.0C.1D.2解析 ∵集合M＝{x|x2＝1}＝{－1，1}，N＝{x|ax＝1}，∴当a＝0时，N＝∅，N⊆M成立；当a≠0时，N＝，∵N⊆M，∴＝－1或＝1，解得a＝－1或a＝1.综上，实数a的值可能为1，－1，0.故选ABC.答案 ABC11.(2020·青岛模拟)已知复数z的共轭复数为，且－2＝，则下列说法正确的是( )A.z＝1－2iB.＝1＋2iC.|z|＝D.z在复平面内对应的点在第一象限解析 由－2＝可得z(－2)＝3＋4i.设z＝x＋yi(x，y∈R)，则(x＋yi)(x－yi－2)＝3＋4i，整理得x2＋y2－2x－2yi＝3＋4i，所以得则z＝1－2i，＝1＋2i，|z|＝，z在复平面内对应的点在第四象限.故选ABC.答案 ABC12.(2020·德州二模)下列命题中是真命题的是( )A.已知非零向量a，b，若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b\nB.若命题p：∀x∈(0，＋∞)，x－1>lnx，则p的否定为∃x0∈(0，＋∞)，x0－1≤lnx0C.在△ABC中，“sinA＋cosA＝sinB＋cosB”是“A＝B”的充要条件D.若定义在R上的函数y＝f(x)是奇函数，则y＝f(f(x))也是奇函数解析 对于A，|a＋b|＝|a－b|⇒|a＋b|2＝|a－b|2⇒a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b⇒a·b＝0，所以a⊥b，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量词任意改成存在，结论进行否定，故B正确；对于C，sinA＋cosA＝sinB＋cosB⇒2sinA·cosA＝2sinB·cosB⇒sin2A＝sin2B，又0<2A＋2B<2π，所以A＋B＝或A＝B，显然不是充要条件，故C错误；对于D，设函数F(x)＝f(f(x))，其定义域为R，关于原点对称，且F(－x)＝f(f(－x))＝f(－f(x))＝－F(x)，所以F(x)为奇函数，故D正确.故选ABD.答案 ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.解析 由(x－a)(x－a＋2)≤0得，a－2≤x≤a.根据“(x－a)(x－a＋2)≤0”是“1≤x≤2”的必要不充分条件，可知[1，2][a－2，a]，所以且这两个不等式中的“等号”不能同时取到，解得2≤a≤3.故所求实数a的取值范围是[2，3].答案 [2，3]14.(2020·大连检测)若“∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是________.解析 “∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，即“∃x∈，使得λ>2x＋成立”是假命题.又x∈，当x＝时，2x＋取最小值2，故实数λ的取值范围为(－∞，2].答案 (－∞，2]15.(2020·石家庄模拟)已知集合A＝{x|2x2－x－1<0}，B＝{x|a<x<b}，若A∪B＝{x|－2<x<1}，则a＝________；若(∁RA)∩B＝{x|1≤x<3}，则b＝________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 A＝{x|2x2－x－1<0}＝，因为B＝{x|a<x<b}，A∪B＝{x|－2<x<1}，如图所示，所以a＝－2.\n∁RA＝∪[1，＋∞)，(∁RA)∩B＝{x|1≤x<3}，如图所示，所以b＝3.答案 －2 316.(2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝________.解析 法一 设z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因为z1＋z2＝＋i，所以2z1＝(＋a)＋(1＋b)i，2z2＝(－a)＋(1－b)i.因为|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以＝4，①＝4，②①2＋②2得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝＝2.法二 设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则z1－z2对应向量，OA＝AC＝OC＝2，易知OACB为菱形，可得BA＝2OAsin60°＝2.故|z1－z2|＝||＝2.答案 2
