热点专练2 不等式一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若a，b，c为实数，且a<b<0，则下列命题正确的是( )A.ac2<bc2B.<C.>D.a2>ab>b2解析 c＝0时，A不成立；－＝>0，B错；－＝＝<0，C错；由a<b<0，∴a2>ab>b2，D正确.答案 D2.已知关于x的不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪，则a＝( )A.2B.－2C.－D.解析 依题意，－1与－是(ax－1)(x＋1)＝0的两根，且a<0，∴－1×＝(－1)×，则a＝－2.答案 B3.若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )A.2B.C.4D.解析 因为a>0，b>0，故2a＋b≥2(当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时取等号).又因为2a＋b＝4，∴2≤4⇒0<ab≤2，∴≥，故的最小值为(当且仅当a＝1，b＝2时等号成立).答案 B4.(2020·日照检测)若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是( )\nA.－4B.－2C.2D.4解析 由题意得2x＋2y≥2＝2(当且仅当x＝y＝－1时取等号)，∴1≥2，∴≥2x＋y，∴2－2≥2x＋y，∴x＋y≤－2.∴x＋y的最大值为－2.答案 B5.(2020·菏泽模拟)若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是( )A.B.C.2D.解析 由x>0，y>0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，当且仅当x＝，y＝时取等号，∴xy的最大值为2.答案 C6.(2020·滨州模拟)设x>0，y>0，x＋2y＝5，则的最小值为( )A.2B.2C.4D.4解析 ∵x>0，y>0，∴>0.∵x＋2y＝5，∴＝＝＝2＋≥2＝4，当且仅当2＝，即x＝3，y＝1或x＝2，y＝时取等号.∴的最小值为4.答案 D7.设a>0，若关于x的不等式x＋≥5在(1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为( )A.16B.9C.4D.2解析 在(1，＋∞)上，x＋＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝2＋1(当且仅当x＝1＋时取等号).由题意知2＋1≥5.所以a≥4.答案 C\n8.(2020·宜昌模拟)若对任意的x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为( )A.9B.10C.11D.12解析 已知当x∈[1，5]时，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，则－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5)，作出函数f(x)，g(x)的图象如图所示，要使b最大，且满足－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x(1≤x≤5)，则直线y＝ax＋b必过(1，5)，且与函数y＝f(x)的图象相切于点B.易得此时b＝5－a，此时的直线方程为y＝ax＋5－a.由得x2＋(a－2)x＋5－a＝0.∴Δ＝(a－2)2－4(5－a)＝0，解得a＝－4或a＝4(舍去)，∴bmax＝5－(－4)＝9.故选A.答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·德州模拟)对于实数a，b，c，下列命题中正确的是( )A.若a>b，则ac<bcB.若a<b<0，则a2>ab>b2C.若c>a>b>0，则>D.若a>b，>，则a>0，b<0解析 若c>0，则由a>b得ac>bc，A错；若a<b<0，则a2>ab，ab>b2，a2>ab>b2，B正确；若c>a>b>0，则c－b>c－a>0，∴>>0，∴>，C正确；若a>b，且a，b同号，则有<，因此由a>b，>得a>0，b<0，D正确.故选BCD.答案 BCD10.(2020·石家庄一模)若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )A.a＋b＋c≤B.(a＋b＋c2)≥3\nC.＋＋≥2D.a2＋b2＋c2≥1解析 由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3<2.因此，A，C错误，B，D正确.故选BD.答案 BD11.(2020·济南一中期中)设正实数a，b满足a＋b＝1，则( )A.＋有最小值4B.有最小值C.＋有最大值D.a2＋b2有最小值解析 对于A，因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以有＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时取等号)，故A正确；对于B，因为a，b是正实数，所以有1＝a＋b≥2，即≤(当且仅当a＝b时取等号)，故B不正确；对于C，因为a，b是正实数，所以有≤＝，即＋≤(当且仅当a＝b时取等号)，故C正确；对于D，因为a，b是正实数，所以有≤，即a2＋b2≥(当且仅当a＝b时取等号)，故D正确.故选ACD.答案 ACD12.(2020·烟台模拟)下列说法正确的是( )A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<，则函数y＝2x＋的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1\nD.函数y＝＋的最小值为9解析 对于A，取x＝，y＝，可得2x＋2y＝3>4，A错误；对于B，y＝2x＋＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C，易知x＝2，y＝满足等式x＋y＋xy＝3，此时xy＝<1，C错误；对于D，y＝＋＝(sin2x＋cos2x)＝＋＋5≥2＋5＝9.当且仅当cos2x＝，sin2x＝时等号成立，D正确.故选BD.答案 BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.解析 由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋≥2＝2·2＝，当且仅当2a＝，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋的最小值为.答案 14.(2020·深圳统测)已知x>0，y>0，且x＋2y＝xy，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则xy的最小值为________，实数m的取值范围为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 ∵x>0，y>0，x＋2y＝xy，∴＋＝1，∴1＝＋≥2，∴xy≥8，当且仅当x＝4，y＝2时取等号，∴x＋2y＝xy≥8，∴m2＋2m<8，解得－4<m<2.答案 8 (－4，2)15.(2020·天津卷)已知a＞0，b＞0，且ab＝1，则＋＋的最小值为__________.解析 因为a＞0，b＞0，ab＝1，所以原式＝＋＋＝＋≥2＝4，当且仅当＝，即a＋b＝4时，等号成立.故＋＋的最小值为4.答案 416.(2020·江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是________.解析 法一 由题意知y≠0.由5x2y2＋y4＝1，可得x2＝，所以x2＋y2＝＋y2＝＝\n≥×2＝，当且仅当＝4y2，即y＝±时取等号.所以x2＋y2的最小值为.法二 设x2＋y2＝t＞0，则x2＝t－y2.因为5x2y2＋y4＝1，所以5(t－y2)y2＋y4＝1，所以4y4－5ty2＋1＝0.由Δ＝25t2－16≥0，解得t≥.故x2＋y2的最小值为.答案
