热点专练5 数学文化一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·辽宁五校模拟)欧拉公式eπi＋1＝0因为非常简洁地融合了数学中最基本的五个常数(自然对数的底数e，圆周率π，虚数单位i，自然数单位1，以及0)而被人们称为世间最美数学公式，由公式中数值组成的集合A＝{e，π，i，1，0}，则集合A中不含无理数的子集共有( )A.8个B.7个C.4个D.3个解析 欧拉公式中数值组成的集合A中不是无理数的元素一共有3个，故共有23＝8(个)子集.故选A.答案 A2.(2020·全国Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.B.C.D.解析 设正四棱锥的底面正方形的边长为a，高为h，侧面三角形底边上的高(斜高)为h′.由已知得h2＝ah′.又∵h′2＝h2＋，∴h′2＝ah′＋a2，∴－·－＝0，解得＝(负值舍去).故选C.答案 C3.(2020·成都模拟)《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问：五人各得几何？”其意思为：有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子？这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是( )\nA.15B.16C.18D.21解析 设得到橘子最少的人的橘子个数为a1.由题意，得5a1＋×3＝60，解得a1＝6.所以得到橘子最多的人所得橘子的个数为a1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.故选C.答案 C4.(2020·广州一模)中国古代十进制的算筹计数法，在史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数的一种方法.例如：3可表示为“≡”，26可表示为“＝⊥”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1～9这9数字表示两位数的个数为( )A.13B.14C.15D.16解析 根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，3；3，7；7，7.数字组合1，5；1，9；2，4；2，8；6，4；6，8；3，7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示2×7＝14个两位数.数字组合3，3；7，7中，每组可以表示1个两位数.则可以表示2×1＝2个两位数，则一共可以表示14＋2＝16个两位数，故选D.答案 D5.(2020·青岛调研)八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号.八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示).从图中的八卦中随机选取一卦，则卦中恰有两个“”的概率为( )A.B.C.D.解析 由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为.答案 C6.(2020·新高考山东、海南卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A\n处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为( )A.20°B.40°C.50°D.90°解析 示意图如图所示，⊙O所在平面为地球赤道所在平面，⊙O1所在平面为点A处的日晷的晷面所在的平面，由点A处的纬度为北纬40°可知∠OAO1＝40°，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与⊙O1所在的平面垂直，则∠CAB＝∠OAO1＝40°，故晷针AC与点A处的水平面所成角为40°.故选B.答案 B7.(2019·全国Ⅰ卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是( )A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm解析 依题意可知＝，＝，\n(1)腿长为105cm，即CD>105，AC＝CD>64.890，AD＝AC＋CD>64.890＋105＝169.890，所以AD>169.890.(2)头顶至脖子下端的长度为26cm，即AB<26，BC＝<42.071，AC＝AB＋BC<68.071，CD＝<110.147，AD＝AC＋CD<68.071＋110.147＝178.218，综上，169.890<AD<178.218.答案 B8.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合)，已知两个圆锥的底面半径均为1，母线长均为2，记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥侧面的交线为AC，BD)，用平行于α的平面截圆锥，该平面与两个圆锥侧面的交线即双曲线Γ的一部分，且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC，BD，则双曲线Γ的离心率为( )A.B.C.D.2解析 设与平面α平行的平面为β，以AC，BD的交点在平面β内的射影为坐标原点，两圆锥的轴在平面β内的射影为x轴，在平面β内与x轴垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.根据题意可设双曲线Γ：－＝1(a>0，b>0).由题意可得双曲线Γ的渐近线方程为y＝±x\n，即＝，所以离心率e＝＝＝.答案 A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·济宁模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是( )A.f(x)＝lnxB.f(x)＝x2＋2x－3C.f(x)＝D.f(x)＝x＋解析 对于A，由于x>x－1≥lnx，所以lnx＝x无解，因而该函数不是“不动点”函数；对于B，令x2＋2x－3＝x，得x2＋x－3＝0，因为Δ＝1－4×(－3)>0，所以方程有两个不等的实数根，所以该函数为“不动点”函数；对于C，当x≤1时，令2x2－1＝x，得x＝－或x＝1，从而该函数为“不动点”函数；对于D，令x＋＝x，得＝0，无解，因而该函数不是“不动点”函数.故选BC.答案 BC10.(2020·济南模拟)德国著名数学家狄利克雷在数学领域有着显著成就，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数f(x)＝关于f(x)，下列说法正确的是( )A.∀x∈R，f(f(x))＝1B.函数f(x)是偶函数C.对于任意一个非零有理数T，f(x＋T)＝f(x)对任意x∈R恒成立D.存在三个点A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，C(x3，f(x3))，使得△ABC为等边三角形解析 ∀x∈R，f(x)∈{0，1}，∴f(f(x))＝1，A正确；f(－x)＝＝＝f(x)，则函数f(x)是偶函数，B正确；f(x＋T)＝＝＝f(x)，C正确；易知A，B(0，1)，C三点所连线构成等边三角形，D正确.故选ABCD.\n答案 ABCD11.(2020·重庆质检)我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线C：y＝x2，直线l为曲线C在点(1，1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y轴旋转一周所得到的几何体为Γ.给出以下四个几何体：图1是底面直径和高均为1的圆锥；图2是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体；图3是底面边长和高均为1的正四棱锥；图4是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理，以上四个几何体中与Γ的体积不相等的是( )A.图1B.图2C.图3D.图4解析 由题意可知，几何体Γ是由阴影部分旋转一周得到，其横截面为环形，设阴影部分等高处，抛物线对应的点的横坐标为x1，切线对应的点的横坐标为x2.由f(x)＝x2，可得f′(x)＝2x，所以f′(1)＝2，所以曲线C在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，所以x＝y，x2＝，所以几何体Γ在等高处的横截面面积S＝πx－πx＝π·.图1中的圆锥高为1，底面半径为，易知该圆锥可由直线y＝2x＋1绕y轴旋转得到，其横截面面积S′＝πx2＝π·，所以几何体Γ和图1中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以它们的体积相等，同理可知几何体Γ和图2，3，4中的几何体的体积均不相等，故选BCD.答案 BCD12.(2020·枣庄模拟)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中，A(－2，0)，B\n(4，0)，点P满足＝.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是( )A.C的方程为(x＋4)2＋y2＝9B.在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得＝C.当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D.在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|解析 设点P(x，y)，则＝＝.化简、整理，得x2＋y2＋8x＝0，即(x＋4)2＋y2＝16，A错误.当D(－6，0)，E(－12，0)时，＝，B正确.cos∠APO＝，cos∠BPO＝，要证射线PO为∠APB的平分线，只需证明cos∠APO＝cos∠BPO，即证＝.又|PB|＝2|PA|，化简、整理，即证|PO|2＝2|AP|2－8.因为|PO|2＝x2＋y2，2|AP|2－8＝2x2＋8x＋2y2＝(x2＋8x＋y2)＋(x2＋y2)＝x2＋y2，所以cos∠APO＝cos∠BPO，C正确.设M(x0，y0)，由|MO|＝2|MA|可得＝2，整理，得3x＋3y＋16x0＋16＝0，而点M在C上，所以满足x＋y＋8x0＝0.联立方程解得x0＝2，y0无实数解，D错误.故选BC.答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是________步.解析 由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，则有×(8＋15＋17)r＝×8×15(等积法).解得r＝3，故其直径为6步.答案 614.现将甲、乙、丙、丁四个人安排到座号分别为1、2、3、4的四个座位上，他们分别有以下要求：甲：我不坐座号为1和2的座位；乙：我不坐座号为1和4的座位；丙：我的要求和乙一样；丁：如果乙不坐座号为2的座位，我就不坐座号为1的座位.\n那么坐的座号为3的座位上的是________.解析 根据题意，甲、乙、丙三人都不坐座号为1的座位，那么只有丁坐座号为1的座位，这样乙就坐座号为2的座位，易知丙只能坐座号为3的座位，则甲坐座号为4的座位.答案 丙15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为R(x)＝若f(x)是定义在R上且最小正周期为1的函数，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f＋f(lg20)＝________.解析 由函数的最小正周期为1可得f＋f(lg20)＝f＋f(lg2＋1)＝f＋f(lg2)＝＋0＝.答案 16.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长l与高h，计算其体积V的近似公式V≈l2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V≈l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为________.解析 设圆锥的底面半径为r，则V＝πr2h≈l2h＝(2πr)2h，得π≈.答案
