热点专练3 平面向量一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2020·泰安检测)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(2m，m＋1).若∥，则实数m的值为( )A.B.－C.－3D.－解析 易知＝(3，1)，且＝(2m，m＋1)，由∥，得2m＝3(m＋1)，∴m＝－3.答案 C2.(2020·全国Ⅲ卷)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( )A.－B.－C.D.解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝25－12＋36＝49，∴|a＋b|＝7，∴cos〈a，a＋b〉＝＝＝＝.故选D.答案 D3.(2020·全国Ⅱ卷)已知单位向量a，b的夹角为60°，则在下列向量中，与b垂直的是( )A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b解析 由题意得|a|＝|b|＝1，a，b的夹角θ＝60°，故a·b＝|a||b|cosθ＝.对于A，(a＋2b)·b＝a·b＋2b2＝＋2＝≠0；对于B，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2×＋1＝2≠0；对于C，(a－2b)·b＝a·b－2b2＝－2＝－≠0；对于D，(2a－b)·b＝2a·b－b2＝2×－1＝0.故选D.答案 D\n4.(2020·石家庄调研)已知向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝5，则2a－b在a方向上的投影为( )A.－B.C.2D.解析 因为(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2|a|2－|a|·|b|cos60°＝3，所以2a－b在a方向上的投影为＝.答案 B5.(2020·海南新高考诊断)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，点D为BC边上一点，且＝2，则·＝( )A.B.C.1D.2解析 法一 ∵＝2，∴－＝2(－)，∴＝＋，则·＝·＝·＋2＝×3×2×＋×32＝1，故选C.法二 以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.则A(0，0)，B(3，0)，C(－1，)，∵＝2，∴＝＝(－4，)＝，则D，∴＝(3，0)，＝，则·＝3×＋0＝1，故选C.答案 C\n6.(2020·济南检测)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )A.－B.C.D.解析 因为点D，E分别是边AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝，DF＝，所以·＝(＋)·＝·＋·＝||·||cos120°＋||·||cos60°＝.答案 D7.已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是( )A.－2B.－C.－D.－1解析 如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0).设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y).所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋2－.当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值－.答案 B8.(2020·青岛调研)已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是( )A.1B.2C.D.解析 因为(a－c)·(b－c)＝0，所以(a－c)⊥(b－c).如图所示，\n设＝c，＝a，＝b，则＝a－c，＝b－c，所以⊥.又因为⊥，所以O，A，C，B四点共圆，当且仅当OC为圆的直径时，|c|最大，且最大值为.答案 C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.(2020·青岛质检)已知向量a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，c＝(1，1)，设a，b的夹角为θ，则( )A.|a|＝|b|B.a⊥cC.b∥cD.θ＝135°解析 根据题意，得a＋b＝(1，1)，a－b＝(－3，1)，则a＝(－1，1)，b＝(2，0).对于A，|a|＝，|b|＝2，则|a|≠|b|，错误；对于B，a＝(－1，1)，c＝(1，1)，则a·c＝0，即a⊥c，正确；对于C，b＝(2，0)，c＝(1，1)，b∥c不成立，错误；对于D，a＝(－1，1)，b＝(2，0)，则a·b＝－2，|a|＝，|b|＝2，则cosθ＝＝－，则θ＝135°，正确.故选BD.答案 BD10.(2020·沈阳一监)已知向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8).若点A，B，C是一个三角形的顶点，则实数t可以为( )A.－2B.C.1D.－1解析 若点A，B，C是一个三角形的顶点，则A，B，C三点不共线，则向量，不共线.由于向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8)，因此＝－＝(－3，4)，＝－＝(t＋5，t－9).若A，B，C三点不共线，则－3(t－9)－4(t＋5)≠0，∴t≠1，故选ABD.\n答案 ABD11.(2020·深圳统测)点P是△ABC所在平面内一点，满足|－|－|＋－2|＝0，则△ABC不可能是( )A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形解析 因为点P是△ABC所在平面内一点，且|－|－|＋－2|＝0，所以||－|(－)＋(－)|＝0，即||＝|＋|，所以|－|＝|＋|，等式两边平方并化简得·＝0，所以⊥，∠BAC＝90°，则△ABC一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形式.故选AD.答案 AD12.(2020·聊城质检)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)，动点D满足||＝1，则|＋＋|的取值可能是( )A.＋2B.＋1C.－1D.－2解析 设D(x，y)，由||＝1，得(x－3)2＋y2＝1，向量＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝的最大值为圆(x－3)2＋y2＝1上的动点到点(1，－)距离的最大值，其最大值为圆(x－3)2＋y2＝1的圆心(3，0)到点(1，－)的距离加上圆的半径，即＋1＝1＋.最小值为－1＝－1，故取值范围为[－1，＋1].故选BC.答案 BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.(2020·全国Ⅰ卷)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝________.解析 将|a＋b|＝1两边平方得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.∴|a－b|＝＝＝＝.答案 14.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.\n解析 因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，故x＋y的最大值为.答案 15.(2020·天津适应性测试)如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝60°，D，E分别是边AB，AC上的点，AE＝1，且·＝，则||＝________.若P是线段DE上的一个动点，则·的最小值为________.(本小题第一空2分，第二空3分)解析 ∵AE＝1，∠BAC＝60°，∴·＝||×1×cos60°＝，解得||＝1.设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(1－λ).∴＝＋＝－2＋λ(－)＝－(2＋λ)＋λAE，＝＋＝－＋(1－λ)(－)＝(λ－2)＋(1－λ).∴·＝－(2＋λ)(1－λ)2＋λ(λ－2)2＋[λ(1－λ)－(λ2－4)]·＝λ2－λ.当λ＝时，·有最小值，为－.答案 1 －16.(2020·浙江卷)已知平面单位向量e1，e2满足|2e1－e2|≤.设a＝e1＋e2，b＝3e1＋e2，向量\na，b的夹角为θ，则cos2θ的最小值是__________.解析 设e1＝(1，0)，e2＝(x，y)，则a＝(x＋1，y)，b＝(x＋3，y).由2e1－e2＝(2－x，－y)，故|2e1－e2|＝≤，得(x－2)2＋y2≤2.又有x2＋y2＝1，得(x－2)2＋1－x2≤2，化简，得4x≥3，即x≥，因此≤x≤1.cos2θ＝＝＝＝＝＝＝－，当x＝时，cos2θ有最小值，为＝.答案
