【走向高考】（全国通用）2022高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题1集合与常用逻辑用语一、选择题1．(文)(2022·新课标Ⅰ理，1)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B＝( )A．[－2，－1]B．[－1,2)C．[－1,1]D．[1,2)[答案] A[解析] A＝{x|x≤－1或x≥3}，所以A∩B＝[－2，－1]，所以选A.(理)(2022·甘肃三诊)若A＝{x|2<2x<16，x∈Z}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∩B中元素个数为( )A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析] A＝{2,3}，B＝{x|－1<x<3}，∴A∩B＝{2}，故选B.[方法点拨] 1.用列举法给出具体集合，求交、并、补集时，直接依据定义求解．2．用描述法给出集合，解题时应先将集合具体化，再依据条件求解，例如方程、不等式的解集，应先解方程(不等式)求出集合，特别注意集合中的限制条件(如x∈Z)．3．解答集合间的包含与运算关系问题的思路：先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的规律为：(1)若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若给定的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．2．(文)(2022·天津文，3)已知命题p：∀x>0，总有(x＋1)ex>1，则¬p为( )A．∃x0≤0，使得(x0＋1)ex0≤1B．∃x0>0，使得(x0＋1)ex0≤1C．∀x>0，总有(x＋1)ex≤1D．∀x≤0，总有(x＋1)ex≤1[答案] B[解析] 由命题的否定只否定命题的结论及全称命题的否定为特称(存在性)命题，“>”的否定为“≤”知选B.12\n(理)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数[分析] 根据四种命题的关系判定．[答案] B[解析] “若p则q”的否命题为“若¬p则¬q”，故选B.3．(2022·天津理，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A＝{2,3,5,6}，集合B＝{1,3,4,6,7}，则集合A∩(∁UB)＝( )A．{2,5}B．{3,6}C．{2,5,6}D．{2,3,5,6,8}[答案] A[解析] ∁UB＝{2,5,8}，所以A∩(∁UB)＝{2,5}，故选A.4．(文)已知集合A＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝2x，x∈R}，则A∩B的元素数目为( )A．0B．1C．2D．无穷多[答案] C[解析] 函数y＝2x与y＝2x的图象的交点有2个，故选C.(理)设全集U＝R，集合M＝{x|y＝}，N＝{y|y＝3－2x}，则图中阴影部分表示的集合是( )A．{x|<x≤3}B．{x|<x<3}C．{x|≤x<2}D．{x|<x<2}[答案] B[解析] M＝{x|x≤}，N＝{x|x<3}，∴阴影部分N∩(∁UM)＝{x|x<3}∩{x|x>}12\n＝{x|<x<3}．5．(文)(2022·邯郸一模)下列命题错误的是( )A．对于命题p：“∃x∈R，使得x2＋x＋1＜0”，则¬p：“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”B．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”C．若p∧q是假命题，则p、q均为假命题D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件[答案] C[解析] p∧q是假命题时，p与q至少有一个为假命题，∴C错．[点评] 此类题目解答时，只要能选出符合题意的答案即可，因此若能快速找出答案可不必逐个判断．[方法点拨] 1.判定命题真假的方法：(1)一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别真假．(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假．(3)形如p∨q、p∧q、¬p命题真假根据真值表判定．(4)判定全称命题为真命题，必须考察所有情形，判断全称命题为假命题，只需举一反例；判断特称命题(存在性命题)真假，只要在限定集合中找到一个特例，使命题成立，则为真，否则为假．2．注意含逻辑联结词的命题的否定．3．设函数y＝f(x)(x∈A)的最大值为M，最小值为m，若∀x∈A，a≤f(x)恒成立，则a≤m；若∀x∈A，a≥f(x)恒成立，则a≥M；若∃x0∈A，使a≤f(x0)成立，则a≤M；若∃x0∈A，使a≥f(x0)成立，则a≥m.(理)(2022·安徽理，5)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面[答案] D[解析] 考查直线、平面的垂直、平行判定定理以及性质定理的应用．选项A中，α，β垂直于同一平面，则α，β可以相交、平行，故A不正确；选项B中，m，n平行于同一平面，则m，n可以平行、重合、相交、异面，故B不正确；选项C中，α，β不平行，但α平面内会存在平行于β的直线，如α∩β＝l时，在α平面中平行于交线l的直线；选项D中，其逆否命题为“若m与n垂直于同一平面，则m，n12\n平行”是真命题，故D项正确．所以选D.6．(文)已知a、b、c都是实数，则命题“若a>b，则ac2>bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．4B．2C．1D．0[答案] B[分析] 解答本题要特别注意c2≥0，因此当c2＝0时，ac2>bc2是不成立的．[解析] a>b时，ac2>bc2不一定成立；ac2>bc2时，一定有a>b，即原命题为假，逆命题为真，故逆否命题为假，否命题为真，故选B.[点评] 原命题与其逆否命题同真同假，原命题与其逆(或否)命题无真假关系，原命题的逆命题与原命题的否命题同真同假．[方法点拨] 1.要严格区分命题的否定与否命题．命题的否定只否定结论，否命题既否定条件，也否定结论．常见命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个∀x∈A使p(x)真∃x0∈m，p(x0)成立否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个∃x0∈A使p(x0)假∀x∈M，p(x)不成立原语句p或qp且q否定形式¬p且¬q¬p或¬q2.要注意掌握不同类型命题的否定形式，(1)简单命题“若A则B”的否定．(2)含逻辑联结词的复合命题的否定．(3)含量词的命题的否定．3．解答复合命题的真假判断问题，先弄清命题的结构形式，再依据相关数学知识判断简单命题的真假，最后确定结论．(理)有下列四个命题：(1)若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；(2)“面积相等的三角形全等”的否命题；(3)“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；(4)“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中真命题为( )A．(1)(2)B．(2)(3)12\nC．(4)D．(1)(2)(3)[答案] D[解析] (1)的逆命题：“若x、y互为倒数，则xy＝1”是真命题；(2)的否命题：“面积不相等的三角形不是全等三角形”是真命题；(3)的逆否命题：“若x2－2x＋m＝0没有实数解，则m>1”是真命题；命题(4)是假命题，所以它的逆否命题也是假命题．如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{4,5}，显然A⊆B是错误的，故选D.7．(文)(2022·新课标Ⅱ文，3)函数f(x)在x＝x0处导数存在，若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件[答案] C[解析] ∵x＝x0是f(x)的极值点，∴f′(x)＝0，即q⇒p，而由f′(x0)＝0，不一定得到x0是极值点，故p⇒/q，故选C.(理)已知：p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)·(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为( )A．[2,4]B．(－∞，4)∪(2，＋∞)C．[1,5]D．(－∞，0)∪(6，＋∞)[答案] A[解析] 由|x－3|≤2得，1≤x≤5；由(x－m＋1)·(x－m－1)≤0得，m－1≤x≤m＋1.∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，∴∴2≤m≤4.[方法点拨] 1.要善于举出反例：如果从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．2．要注意转化：如果p是q的充分不必要条件，那么¬p是¬q的必要不充分条件．同理，如果p是q的必要不充分条件，那么¬p是¬q的充分不必要条件；如果p是q的充要条件，那么¬p是¬q的充要条件．3．命题p与q的真假都与m的取值范围有关，使命题p成立的m的取值范围是A，使命题q成立的m的取值范围是B，则“p⇒q”⇔“A⊆B”．12\n8．(2022·安徽理，3)设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 考查指数运算与充要条件的概念．由q：2x>20，解得x>0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A.9．(文)(2022·青岛市质检)设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是( )A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β[答案] C[解析] 当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α，β可能垂直，也可能平行，故选项A，B错误；如图所示，由m∥n，得m，n确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l，因为m∥α，所以m∥l，l∥n，又n⊥β，所以l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β，故选项C正确，D错误，故选C.(理)(2022·潍坊市模拟)已知命题p：∀x>0，x＋≥4；命题q：∃x0∈(0，＋∞)，2x0＝.则下列判断正确的是( )A．p是假命题B．q是真命题C．p∧(¬q)是真命题D．(¬p)∧q是真命题[答案] C[解析] 因为当x>0时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时等号成立，所以p是真命题，当x>0时，2x>1，所以q是假命题，所以p∧(¬q)是真命题，(¬p)∧q是假命题．12\n10．(文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{(x，y)|logxy∈N}的元素个数是( )A．3B．4C．8D．9[答案] B[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A×B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此，一共有4个元素，故选B.(理)设S是实数集R的非空子集，如果∀a、b∈S，有a＋b∈S，a－b∈S，则称S是一个“和谐集”．下面命题中假命题是( )A．存在有限集S，S是一个“和谐集”B．对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”C．若S1≠S2，且S1、S2均是“和谐集”，则S1∩S2≠∅D．对任意两个“和谐集”S1、S2，若S1≠R，S2≠R，则S1∪S2＝R[答案] D[分析] 利用“和谐集”的定义一一判断即可．[解析] 对于A，如S＝{0}，显然该集合满足：0＋0＝0∈S,0－0＝0∈S，因此A正确；对于B，设任意x1∈{x|x＝ka，k∈Z}，x2∈{x|x＝ka，k∈Z}，则存在k1∈Z，k2∈Z，使得x1＝k1a，x2＝k2a，x1＋x2＝(k1＋k2)a∈{x|x＝ka，k∈Z}，x1－x2＝(k1－k2)·a∈{x|x＝ka，k∈Z}，因此对任意无理数a，集合{x|x＝ka，k∈Z}都是“和谐集”，B正确；对于C，依题意，当S1、S2均是“和谐集”时，若a∈S1，则有a－a∈S1，即0∈S1，同理0∈S2，此时S1∩S2≠∅，C正确；对于D，如取S1＝{0}≠R，S2＝{x|x＝k，k∈Z}≠R，易知集合S1、S2均是“和谐集”，此时S1∪S2≠R，D不正确．[方法点拨] 求解集合中的新定义问题，主要抓两点：一是紧扣新定义将所叙述问题等价转化为已知数学问题，二是用好集合的概念、关系与性质．11．(文)(2022·陕西理，6)“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 充分性：sinα＝cosα⇒cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝0，所以充分性成立；必要性：cos2α＝0⇒(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝0⇒sinα＝±cosα，必要性不成立；所以是充分不必要条件．故本题正确答案为A.(理)(2022·四川理，8)设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3<logb12\n3”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[答案] B[解析] 若3a>3b>3，则a>b>1，从而有loga3<logb3，故为充分条件．若loga3<logb3不一定有a>b>1，比如a＝，b＝3，从而3a>3b>3不成立．故选B.12．(文)设四边形ABCD的两条对角线为AC、BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 菱形的对角线互相垂直，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形．故选A.(理)已知条件p：|x＋1|>2，条件q：x>a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )A．a≥1B．a≤1C．a≥－1D．a≤－3[答案] A[解析] 条件p：x>1或x<－3，所以¬p：－3≤x≤1；条件q：x>a，所以¬q：x≤a，由于¬p是¬q的充分不必要条件，所以a≥1，故选A.13．(文)(2022·重庆理，6)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p∧qB．(¬p)∧(¬q)C．(¬p)∧qD．p∧(¬q)[答案] D[解析] 命题p是真命题，命题q是假命题，所以选项D正确．判断复合命题的真假，要先判断每一个命题的真假，然后做出判断．(理)已知命题p：“∀x∈R，x2＋1≥1”的否定是“∃x∈R，x2＋1≤1”；命题q：在△ABC中，“A>B”是“sinA>sinB”的充分条件，则下列命题是真命题的是( )A．p且qB．p或¬qC．¬p且¬qD．p或q12\n[答案] D[解析] p为假命题，q为真命题，∴p且q为假命题，p或¬q为假命题，¬p且¬q为假命题，p或q为真命题．14．(2022·陕西理，8)原命题为“若z1、z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A．真，假，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假[答案] B[解析] 若z1＝a＋bi，则z2＝a－bi.∴|z1|＝|z2|，故原命题正确、逆否命题正确．其逆命题为：若|z1|＝|z2|，则z1、z2互为共轭复数，若z1＝a＋bi，z2＝－a＋bi，则|z1|＝|z2|，而z1、z2不为共轭复数．∴逆命题为假，否命题也为假．15．(文)设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是( )A．p∨qB．p∧qC．(¬p)∧(¬q)D．p∨(¬q)[答案] A[解析] 取a＝c＝(1,0)，b＝(0,1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；∵a∥b，b∥c，∴∃λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．(理)已知命题p：“∃x∈R，x2＋2ax＋a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是( )A．(0,1)B．(0,2)C．(2,3)D．(2,4)[答案] A[解析] 由p为假命题知，∀x∈R，x2＋2ax＋a>0恒成立，∴Δ＝4a2－4a<0，∴0<a<1，故选A.16．(文)在R上定义运算⊗：x⊗y＝，若关于x的不等式(x－a)⊗(x＋1－a)>0的解集是集合{x|－2≤x≤2}的子集，则实数a的取值范围是( )A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤212\n[答案] C[解析] 因为(x－a)⊗(x＋1－a)>0，所以>0，即a<x<a＋1，则a≥－2且a＋1≤2，即－2≤a≤1.(理)下列命题正确的个数是( )①“在三角形ABC中，若sinA>sinB，则A>B”的逆命题是真命题；②命题p：x≠2或y≠3，命题q：x＋y≠5则p是q的必要不充分条件；③“∀x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是“∀x∈R，x3－x2＋1>0”；④若随机变量x～B(n，p)，则D(X)＝np.⑤回归分析中，回归方程可以是非线性方程．A．1B．2C．3D．4[答案] C[解析] 在△ABC中，A>B⇔a>b⇔2RsinA>2RsinB⇔sinA>sinB(其中R为△ABC外接圆半径)．∴①为真命题；∵x＝2且y＝3时，x＋y＝5成立，x＋y＝5时，x＝2且y＝3不成立，∴“x＋y＝5”是“x＝2且y＝3”的必要不充分条件，从而“x≠2或y≠3”是“x＋y≠5”的必要不充分条件，∴②为真命题；∵全称命题的否定是特称命题，∴③为假命题；由二项分布的方差知④为假命题．⑤显然为真命题，故选C.二、填空题17．(文)设p：关于x的不等式ax>1的解集为{x|x<0}，q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，若p或q为真命题，p且q为假命题，则a的取值范围是________．[答案] (0，]∪[1，＋∞)[解析] p真时，0<a<1；q真时，ax2－x＋a>0对x∈R恒成立，则即a>.若p∨q为真，p∧q为假，则p、q应一真一假：①当p真q假时，⇒0<a≤；②当p假q真时，⇒a≥1.综上，a∈(0，]∪[1，＋∞)．(理)(2022·青岛市质检)设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．12\n已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是________．[答案] ②④[分析] 按集合τ的定义逐条验证．[解析] ①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，因为{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义；③因为{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的一个拓扑；④满足集合X上的一个拓扑的集合τ的定义，故答案为②④.18．(文)(2022·郑州第二次质量检测)下列说法：①“∃x∈R,2x>3”的否定是“∀x∈R,2x≤3”；②函数y＝sin(2x＋)sin(－2x)的最小正周期是π；③命题“函数f(x)在x＝x0处有极值，则f′(x0)＝0”的否命题是真命题；④f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，x>0时的解析式是f(x)＝2x，则x<0时的解析式为f(x)＝－2－x.其中正确的说法是________．[答案] ①④[解析] ①对，特称(存在性)命题的否定为全称命题；②错，因为化简已知函数得y＝sin(2x＋)sin(－2x)＝sin(2x＋)·sin[－(2x＋)]＝sin(2x＋)cos(2x＋)＝sin(4x＋)，故其周期应为＝；③错，因为原命题的逆命题“若f′(x0)＝0，则函数f(x)在x＝x0处有极值”为假命题，由逆命题、否命题同真假知否命题为假命题；④对，设x<0，则－x>0，故有f(－x)＝2－x＝－f(x)，解得f(x)＝－2－x.综上可知只有命题①④正确．[易错分析] 命题③真假的判断容易出错，导函数值为0的点不一定是极值点，这一点可以通过特例进行判断，如f(x)＝x3等函数．(理)(2022·山东临沂二模)给出下列四个结论：①“若am2<bm2，则a<b”的逆命题是真命题；②若x，y∈R，则“x≥2或y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件；③函数y＝loga(x＋1)＋1(a>0且a≠0)的图象必过点(0,1)；12\n④已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)＝0.2.其中正确结论的序号是________(填上所有正确结论的序号)．[答案] ②③[解析] ①错，因为逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m＝0时，命题不成立；∵x≥2与y≥2只要有一个成立就有x2＋y2≥4，但是当x＝，y＝时，x2＋y2＝>4却不满足x≥2或y≥2，根据充分条件和必要条件的定义判断可知②正确(也可以转化为其等价的逆否命题来判断)；当x＝0时，y＝loga1＋1＝1，所以恒过定点(0,1)(也可由y＝logax的图象恒过定点(1,0)，将图象左移1个单位，然后向上平移1个单位，故图象恒过(0,1)点)，所以③正确；根据正态分布的对称性可知P(－2≤ξ≤0)＝P(0≤ξ≤2)，P(ξ>2)＝P(ξ<－2)，所以P(ξ>2)＝＝＝0.1，所以④错误，综上正确的结论有②③.[易错分析] 填空题中此类开放题型出错率较高，必须正确判断每一个命题的真假.12
