阶段质量检测(一)建议用时：40分钟一、选择题1．已知集合A＝{x|log3(2x－1)≤0}，B＝{x|y＝}，全集U＝R，则A∩(∁UB)等于( )A．B．C．D．D [由log3(2x－1)≤0得解得＜x≤1，即A＝，2．下列说法中，不正确的是( )A．已知a，b，m∈R，命题“若am2＜bm2，则a＜b”为真命题B．命题“∃x0∈R，x－x0＞0”的否定是：“∀x∈R，x2－x≤0”C．命题“p或q”为真命题，则命题p和q均为真命题D．“x＞3”是“x＞2”的充分不必要条件C [“p或q”为真命题，则命题p和q至少有一个为真命题，因此C不正确，故选C．]3．已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为( )A．f(b)＜f(a)＜f(c)B．f(c)＜f(b)＜f(a)C．f(c)＜f(a)＜f(b)D．f(b)＜f(c)＜f(a)C [f(x)＝2x－2－x＝2x－在R上单调递增．a＝∈(0,1)，b＝＞1，c＝log2＜0，则f(a)，f(b)，f(c)的大小顺序为f(c)＜f(a)＜f(b)，故选C．]\n4．函数y＝(x3－x)2|x|图象大致是( )A BC DB [由于函数y＝(x3－x)2|x|为奇函数，故它的图象关于原点对称，当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0，故选B．]5．(2020·北京模拟)命题p：存在实数x0，使得sin(x＋x0)＝－sinx恒成立；命题q：∀a＞0，f(x)＝ln为奇函数，则下列命题是真命题的是( )A．p∧qB．(p)∨(q)C．p∧(q)D．p∧qA [由sin(x＋π)＝－sinx知，存在x0＝π，使得sin(x＋x0)＝－sinx，由此命题p是真命题，由＞0，得－a＜x＜a，即函数f(x)的定义域为(－a，a)，关于原点对称，且f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，因此命题q为真命题，则命题p∧q为真命题，故选A．]6．(2020·黄山模拟)若y＝log(3x2－ax＋5)在[－1，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是( )A．(－∞，－6)B．(－6,0)C．(－8，－6]D．[－8，－6]C [由题意知，函数y＝3x2－ax＋5在[－1，＋∞)上是增函数，且当x∈[－1，＋∞)时，y＞0恒成立，从而有解得－8＜a≤－6，故选C．]7．(2021·杭州学军中学期中)下列说法正确的是( )A．若a<b，则>B．若a>b>c>0，则<\nC．若a，b∈R，则＋≥2D．若a，b∈R，则≥B [当a＝－1，b＝1时，满足a<b，但是<，A不成立；由a>b>c>0，则－＝＝<0，故<，B成立；当ab<0时，C显然不成立；由a，b∈R，－＝＝，正负不确定，D不成立．故选B．]8．已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(3－x)＋f(x)＝0，且当x∈时，f(x)＝log2(2x＋7)，则f(2020)＝( )A．－2B．log23C．3D．－log25D [∵定义域为R的奇函数f(x)满足f(3－x)＋f(x)＝0，∴f(－x)＝－f(x)＝f(3－x)，∴f(x)的周期为3.∵当x∈时，f(x)＝log2(2x＋7)，∴f(2020)＝f(3×673＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－log2(－2＋7)＝－log25，故选D．]二、填空题9．设函数f(x)＝则f[f(2)]＝________.0 [∵函数f(x)＝∴f(2)＝0，∴f[f(2)]＝f(0)＝0.]10．若函数y＝f(x)的定义域是，则函数y＝f(log2x)的定义域为________．[，4] [由题意知≤log2x≤2，即log2≤log2x≤log24，∴≤x≤4.]11．(2020·全国卷Ⅲ)若x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最大值为________．7 [根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．结合图形可知，当直线y＝－x＋过点A(1，2)时，z取得最大值，且zmax＝3×1＋2×2＝7.\n]12．(2020·成都模拟)已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x＋的根的个数为________．4 [方程的根即两函数y＝f(x)与y＝x＋图象交点的横坐标，作出函数图象，如图，结合图象可得方程f(x)＝x＋的根的个数为4.]三、解答题13．已知函数f(x)＝(log2x－2).(1)当x∈[2,4]时，求该函数的值域；(2)若f(x)≥mlog2x对于x∈[4,16]恒成立，求m的取值范围．[解] (1)f(x)＝(2log4x－2)，令t＝log4x，x∈[2,4]时，t∈，此时，y＝(2t－2)＝2t2－3t＋1＝2－，∵t∈∴y∈，所以函数的值域为.(2)f(x)≥mlog2x对于x∈[4,16]恒成立，即2t2－3t＋1≥2mt对t∈[1,2]恒成立，∴2m≤2t＋－3对t∈[1,2]恒成立，易知g(t)＝2t＋－3在t∈[1,2]上单调递增，∴g(t)min＝g(1)＝0，∴2m≤0，\n∴m≤0.14．已知a∈R，命题p：“∀x∈[0,2]，2x－4x＋a≤0均成立”，命题q：“函数f(x)＝ln(x2＋ax＋2)定义域为R”．(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．[解] (1)若设t＝2x，可得t∈[1,4]，得a≤t2－t在t∈[1,4]上恒成立．若设y＝t2－t，其中t∈[1,4]，从而可得a≤ymin，即a≤(t2－t)min＝0.(2)若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，则p，q必然一真一假．当q为真命题时，即x2＋ax＋2＞0在R上恒成立时，则Δ＝a2－8＜0，得－2＜a＜2.又p真时a≤0，所以p，q一真一假时或可得a≤－2或0＜a＜2，所以a∈(－∞，－2]∪(0,2)．15．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？[解] (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的飞行速度为0m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0.当耗氧量为90个单位时，飞行速度为1m/s，故a＋blog3＝1，整理得a＋2b＝1.解方程组得(2)由(1)知，v＝a＋blog3＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2m/s，则有v≥2，所以－1＋log3≥2，即log3≥3，即≥27，解得Q≥270.所以这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要270个单位．16．已知函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)＝.\n(1)求a的值；(2)证明f(x)＋f(1－x)＝1；(3)求f＋f＋f＋…＋f的值．[解] (1)∵函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，而函数y＝ax(a＞0，且a≠1)在[1,2]上单调递增或单调递减，∴a＋a2＝20，得a＝4，或a＝－5(舍去)，∴a＝4.(2)证明：∵f(x)＝，∴f(1－x)＝＝＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝1.(3)由(2)知，f＋f＝f＋f＝…＝f＋f＝1，∴f＋f＋f＋…＋f＝1010.
