阶段质量检测(三)建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·银川三模)若向量a＝(x＋1,2)与b＝(1，－1)平行，则|2a＋b|＝( )A．B．C．3D．C [∵a∥b，∴－(x＋1)－2＝0，解得x＝－3，∴a＝(－2,2)，2a＋b＝(－3,3)，∴|2a＋b|＝3.故选C．]2．(2020·成都模拟)复数z＝，则z·＝( )A．iB．－iC．1D．－1C [∵z＝，∴|z|＝＝＝＝1.∴z·＝|z|2＝1.故选C．]3．(2020·钦州模拟)设向量a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，则( )A．a⊥bB．a与b同向C．a与b反向D．(a＋b)是单位向量C [∵a＝(－1,2)，b＝(2，－4)，∴b＝－2a，∴a与b反向，(a＋b)＝，∴|a＋b|≠1，即(a＋b)不是单位向量．故选C．]4．(2020·宜宾模拟)在△ABC中，点D为BC延长线上一点，且＝，则( )A．＝－B．＝－C．＝－＋D．＝－＋C [由题意可知，＝＝，∴＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故选C．]\n5．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|，cos〈a，b〉＝，若(ma＋4b)⊥b，则实数m的值为( )A．9B．10C．11D．－16D [∵非零向量a，b满足|a|＝|b|，cos〈a，b〉＝，(ma＋4b)⊥b，∴(ma＋4b)·b＝ma·b＋4b2＝m·|b|·|b|·＋4|b|2＝0，求得m＝－16，故选D．]6．(2020·武汉模拟)设有下面两个命题：p1：复数z∈R的充要条件是z＝；p2：若复数z所对应的点在第一象限，则复数所对应的点在第四象限．则下列选项中，为真命题的是( )A．p1∧p2B．(p1)∧p2C．p1∧(p2)D．(p1)∧(p2)A [设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z∈R⇔b＝0⇔z＝，则p1为真命题；若复数z所对应的点在第一象限，则a＞0，b＞0，而＝＝b－ai，故复数所对应的点(b，－a)在第四象限，p2为真命题．∴p1∧p2为真命题．故选A．]7．(2020·沙市模拟)菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，E点为线段CD的中点，则·为( )A．B．3C．D．B [建立如图所示坐标系，A(0,1)，B(－，0)，C(0，－1)，D(，0)，所以E，则＝，＝(，－1)，所以·＝3.故选B．]8．在△ABC中，·＝7，|－|＝6，则△ABC面积的最大值为( )\nA．24B．16C．12D．8C [设A，B，C所对边分别为a，b，c，由·＝7，|－|＝6，得bccosA＝7，a＝6①，S△ABC＝bcsinA＝bc＝bc＝，由余弦定理可得b2＋c2－2bccosA＝36②，由①②消掉cosA得b2＋c2＝50，所以b2＋c2≥2bc，所以bc≤25，当且仅当b＝c＝5时取等号，所以S△ABC＝≤12，故△ABC的面积的最大值为12，故选C．]二、填空题9．(2020·天津一模)若复数z满足：z(1＋i)＝|1＋i|，则复数z的虚部是．－1 [由z(1＋i)＝|1＋i|＝＝2，得z＝＝＝1－i，∴复数z的虚部是－1.]10．(2020·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝(＋)，则||＝；·＝. －1 [由＝(＋)，可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴·＝·(＋)＝－·(＋)＝－2－·＝－1.]11．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若函数f(x)＝a·b在区间(－1,1)上是增函数，则实数t的取值范围是．[5，＋∞) [依题意得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f′(x)＝－3x2＋2x＋t.若f(x)在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上f′(x)≥0恒成立．∴f′(x)≥0⇔t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立，\n令g(x)＝3x2－2x，则g(x)是对称轴为x＝，开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1,1)上恒成立⇔t≥g(－1)，即t≥5，故t的取值范围是[5，＋∞)．]12．(2020·乐山模拟)如图，已知函数f(x)＝|sinπx|，A1，A2，A3是图象的顶点，O，B，C，D为f(x)与x轴的交点，线段A3D上有五个不同的点Q1，Q2，…，Q5，记ni＝·(i＝1,2，…，5)，则n1＋n2＋…＋n5的值为． [由题意得，函数f(x)的周期T＝1，即B，C，D的横坐标分别为1,2,3，故A2，A3，则kOA2＝，kDA3＝＝－，因为kOA2·kDA3＝－1，故⊥，故n1＋n2＋…＋n5＝·(＋＋＋＋)＝(5＋＋＋＋＋)＝5·＝5×＝.]三、解答题13．(2020·天津模拟)已知|a|＝，|b|＝1，a与b的夹角为45°.(1)求a在b方向上的投影；(2)求|a＋2b|的值；(3)若向量(2a－λb)与(λa－3b)的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．[解] (1)a在b方向上的投影为|a|cos45°＝×＝1.(2)a·b＝×1×＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝2＋4＋4＝10，\n则|a＋2b|＝.(3)向量(2a－λb)与(λa－3b)的夹角是锐角，可得(2a－λb)·(λa－3b)＞0，且(2a－λb)与(λa－3b)不共线，由2λa2＋3λb2－(6＋λ2)a·b＞0，即有7λ－(6＋λ2)＞0，解得1＜λ＜6，又由(2a－λb)与(λa－3b)共线，可得2·(－3)＝－λ·λ，解得λ＝±，则实数λ的取值范围为(1，)∪(，6)．14．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，且m·n＝sin2C．(1)求角C的大小；(2)若a，c，b成等差数列，且·(－)＝18，求边c的长．[解] (1)由已知得m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)，又∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，又∵m·n＝sin2C，∴sinC＝sin2C＝2sinCcosC，∴cosC＝，又0＜C＜π，∴C＝.(2)由a，c，b成等差数列，则2c＝a＋b，由·(－)＝18，∴·＝18，即abcosC＝18，由(1)知cosC＝，所以ab＝36，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab，∴c2＝4c2－3×36，∴c＝6.15．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|ka＋b|＝|a－kb|(k＞0)，令f(x)＝a·b.(1)求f(k)＝a·b(用k表示)；(2)当k＞0时，f(k)≥x2－2tx－对任意的t∈[－1,1]恒成立，求实数x的取值范围．[解] (1)∵|a|＝|b|＝1，|ka＋b|＝|a－kb|，∴k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2－2ka·b＋k2b2)，\n整理得a·b＝，∴f(k)＝(k＞0)．(2)当k＞0时，f(k)＝≥·2＝(当且仅当k＝1时等号成立)，∴当k＞0时，f(k)≥x2－2tx－对任意的t∈[－1,1]恒成立，即≥x2－2tx－，亦即x2－2tx－1≤0对任意的t∈[－1,1]恒成立，令g(t)＝x2－2tx－1＝－2xt＋x2－1，∴g(t)＝－2xt＋x2－1＜0对任意的t∈[－1,1]恒成立，由一次函数的性质可得，∴1－≤x≤－1，∴实数x的取值范围为[1－，－1]．16．已知向量m＝(sinx,1)，n＝(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象．求g(x)在上的值域．[解] (1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A＝Asin，∵函数f(x)＝m·n的最大值为6，∴A＝6.\n
