阶段质量检测(四)建议用时：40分钟一、选择题1．等差数列{an}的前n项和是Sn，a1＝1，S9＝9S3，则an＝( )A．nB．2n－1C．3n－2D．2－nB [设等差数列{an}的公差为d，∵a1＝1，S9＝9S3，∴9＋36d＝9(3＋3d)，解得d＝2.∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.故选B．]2．(2020·淄博模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a5＝a3，则＝( )A．B．C．D．A [由a5＝a3，可得q2＝，则＝＝1＋q4＝.故选A．]3．设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d＜0”是“∀n∈N*，Sn＋1＜Sn”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件D [“∀n∈N*，Sn＋1＜Sn”⇔an＋1＜0.“d＜0”与“∀n∈N*，an＋1＜0”相互推不出，与a1的取值(正负)有关系，∴“d＜0”是“∀n∈N*，Sn＋1＜Sn”的既不充分也不必要条件．故选D．]4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a8－a5＝－6，S9－S4＝75，则Sn取得最大值时n＝( )A．14B．15C．16D．17A [设等差数列{an}的公差为d，∵a8－a5＝－6，S9－S4＝75，∴3d＝－6,5a1＋30d＝75，解得a1＝27，d＝－2，∴an＝27－2(n－1)＝29－2n.令an≥0，解得n≤＝14＋.则Sn取得最大值时n＝14.故选A．]5．在《九章算术》中有一个古典名题“两鼠穿墙”问题：今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．大意是：有两只老鼠从墙的两边分别打洞穿墙．大老鼠一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，\n以后每天减半．若垣厚33尺，则两鼠几日可相逢( )A．5B．6C．7D．8B [大老鼠打洞构成首项为1，公比为2的等比数列，小老鼠打洞构成首项为1，公比为的等比数列，设相遇时是第n天，则满足＋≥33，即2n－1＋2－≥33，即2n－≥32，则f(n)＝2n－在n≥1上单调递增，∵f(5)＝25－＝32－<32，f(6)＝26－＝64－>32，∴相遇时是第6天，故选B．]6．(2020·福州模拟)已知数列{an}为等差数列，若a1，a6为函数f(x)＝x2－9x＋14的两个零点，则a3a4＝( )A．－14B．9C．14D．20D [∵等差数列{an}中，a1，a6为函数f(x)＝x2－9x＋14的两个零点，∴a1＋a6＝9，a1a6＝14，∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，当a1＝2，a6＝7时，d＝1，a3＝4，a4＝5，a3a4＝20.当a1＝7，a6＝2时，d＝－1，a3＝5，a4＝4，a3a4＝20.故选D．]7．(2020·保定一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若点A，B，C，O满足：①＝λ(λ≠0)；②A，B，O确定一个平面；③＝a3＋a98，则S100＝( )A．29B．40C．45D．50D [因为＝λ，且A，B，O确定一个平面，所以A，B，C三点共线，且A，B，C，O四点共面．又因为＝a3＋a98，所以a3＋a98＝1.又因为{an}是等差数列，\n所以S100＝＝＝50，故选D．]8.(2020·潍坊模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵，按照以上排列的规律，第10行从左向右的第3个数为( )A．13B．39C．48D．58C [由排列的规律可得，第n－1行结束的时候共排了1＋2＋3＋…＋(n－1)＝＝个数，则第n行的第一个数字为＋1，第10行的第一个数字为46，故第10行从左向右的第3个数为48，故选C．]二、填空题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，若S1，S3，S2成等差数列，则{an}的公比q等于．－ [S1，S3，S2成等差数列，可得2S3＝S1＋S2，即2(a1＋a2＋a3)＝a1＋a1＋a2，所以2a1(1＋q＋q2)＝a1(2＋q)，化为2q2＋q＝0，解得q＝－(q＝0舍去)．]10．(2020·唐山一模)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝an＋tn(n∈N*，t为非零常数)，且a1，a2，a3成等比数列，则an＝. [a2＝a1＋t＝1＋t，a3＝a2＋2t＝1＋3t，依题意a1，a2，a3成等比数列，即(1＋t)2＝1×(1＋3t)，解得t＝0(舍去)，t＝1.n≥2时，a2－a1＝1，a3－a2＝2，…，an－an－1＝n－1，以上各式相加得an－a1＝1＋2＋…＋(n－1)＝n(n－1)，\n即有an＝.n＝1时，表达式也成立，所以∀n∈N*，an＝.]11．(2020·茂名二模)为了贯彻落实十九大提出的“精准扶贫”政策，某地政府投入16万元帮助当地贫困户通过购买机器办厂的形式脱贫，假设该厂第一年需投入运营成本3万元，从第二年起每年投入运营成本比上一年增加2万元，该厂每年可以收入20万元，若该厂n(n∈N*)年后，年平均盈利额达到最大值，则n等于．(盈利额＝总收入－总成本)4 [设每年的营运成本为数列{an}，依题意该数列为等差数列，且a1＝3，d＝2.所以n年后总营运成本Sn＝n2＋2n，因此，年平均盈利额为：＝－n－＋18≤－2＋18＝10，当且仅当n＝4时等号成立．]12．(2020·泉州二模)等差数列{an}的公差为2，若a＝a2·a8，且＋＋…＋＝2n＋1(n∈N*)，则b3＝，数列{bn}的通项公式为．48 bn＝ [∵等差数列{an}的公差为2，a＝a2·a8，∴(a1＋3×2)2＝(a1＋2)(a1＋7×2)，解得a1＝2.∴an＝2＋2(n－1)＝2n.∵＋＋…＋＝2n＋1(n∈N*)，∴n≥2时，＋＋…＋＝2n，∴＝2n＋1－2n＝2n，可得：bn＝n·2n＋1.n＝1时，＝22，解得b1＝8.∴bn＝∴b3＝3×24＝48.]三、解答题13．(2020·邵阳一模)已知正项数列{an}中，a1＝1，a－2an＋1an－3a＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn－an}是等差数列，且b1＝2，b3＝14，求数列{bn}的前n项和Sn.\n[解] (1)正项数列{an}中，a1＝1，a－2an＋1an－3a＝0.∴(an＋1－3an)(an＋1＋an)＝0，∴an＋1＝3an，又a1＝1，∴数列{an}是首项1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1.(2)设等差数列{bn－an}的公差为d，且b1＝2，b3＝14，∴14－32＝2－1＋2d，解得d＝2.∴cn＝1＋2(n－1)＝2n－1.∴数列{bn}的前n项和Sn＝(1＋3＋…＋2n－1)＋1＋3＋32＋…＋3n－1＝＋＝n2＋.14．已知数列{an}是递增的等比数列，Sn是其前n项和，a2＝9，S3＝39.(1)求数列{an}的通项公式；(2)记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解] (1)数列{an}是递增的等比数列，设公比为q，由题意可得q＞1，由a2＝9，S3＝39，可得＋9＋9q＝39，解得q＝3或(舍去)，则数列{an}的通项公式为an＝a2qn－2＝9·3n－2＝3n.(2)bn＝＝(2n－1)·，Tn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，Tn＝1·＋3·＋5·＋…＋(2n－1)·，两式相减可得Tn＝＋2－(2n－1)·＝＋2·－(2n－1)·，化简可得Tn＝1－(n＋1)·.15．[结构不良试题](2020·青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，.\n给出下列三个条件：条件①：数列{an}为等比数列，数列{Sn＋a1}也为等比数列；条件②：点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1上；条件③：2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1.试在上面的三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.[解] 选条件①：(1)∵数列{Sn＋a1}为等比数列，∴(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)，即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)．设等比数列{an}的公比为q，∴(2＋q)2＝2(2＋q＋q2)，解得q＝2或q＝0(舍)，∴an＝a1qn－1＝2n－1.(2)由(1)知：an＝2n－1，∴bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－.选条件②：(1)∵点(Sn，an＋1)在直线y＝x＋1，∴an＋1＝Sn＋1，又an＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N)，两式相减有：an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝S1＋1＝2，也适合上式，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝a1qn－1＝2n－1.(2)由(1)知：an＝2n－1，∴bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－.\n选条件③：(1)∵2na1＋2n－1a2＋…＋2an＝nan＋1，∴2n－1a1＋2n－2a2＋…＋2an－1＝(n－1)an(n≥2)，即2na1＋2n－1a2＋…＋22an－1＝2(n－1)an，(n≥2)．由两式相减可得：2an＝nan＋1－2(n－1)an，即an＋1＝2an，又a1＝1，a2＝2a1，也适合上式，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列．∴an＝a1qn－1＝2n－1.(2)由(1)知：an＝2n－1，∴bn＝＝＝，∴Tn＝＝＝－.16．(2020·潍坊模拟)已知函数f(x)＝xlnx＋kx，k∈R.(1)求y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若不等式f(x)≤x2＋x恒成立，求k的取值范围；(3)求证：当n∈N*时，不等式ln(4i2－1)＞成立．[解] (1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1＋lnx＋k，f′(1)＝1＋k，∵f(1)＝k，∴函数y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－k＝(k＋1)(x－1)，即y＝(k＋1)x－1.(2)对于不等式f(x)≤x2＋x恒成立，即xlnx＋kx≤x2＋x恒成立，因为x＞0，所以lnx＋k≤x＋1恒成立，即lnx－x＋k－1≤0恒成立．设g(x)＝lnx－x＋k－1(x＞0)，g′(x)＝－1，x∈(0,1)，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(1，＋∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减，∵不等式f(x)≤x2＋x恒成立，且x＞0，∴lnx－x＋k－1≤0，∴g(x)max＝g(1)＝k－2≤0即可，故k≤2.(3)证明：由(2)可知：当k＝2时，lnx≤x－1恒成立，\n令x＝，由于i∈N*，＞0.故ln＜－1，整理得：ln(4i2－1)＞1－，变形得：ln(4i2－1)＞1－，即：ln(4i2－1)＞1－，i＝1,2,3…，n时，有ln3＞1－，ln15＞1－，…ln(4n2－1)＞1－，两边同时相加得：ln(4i2－1)＞n－＝＞，所以不等式在n∈N*上恒成立．
