阶段质量检测(八)建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·福州市质量检测)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别为4,2，则输出的n＝( )A．6B．5C．4D．3C [a＝4，b＝2，n＝1，执行循环：a＝6，b＝4，n＝2，a≤b不成立，执行循环：a＝9，b＝8，n＝3，a≤b不成立，执行循环：a＝，b＝16，n＝4，a≤b成立，结束循环．故输出的n为4，故选C．]2．已知x＞0，y＞0，a＝(x,1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则＋的最小值为( )A．4B．9C．8D．10B [a＝(x,1)，b＝(1，y－1)，若a⊥b，则x＋y－1＝0，即x＋y＝1.又x＞0，y＞0，故＋＝(x＋y)＝＋＋5≥2＋5＝4＋5＝9，当且仅当＝，结合x＋y＝1且x＞0，y＞0知x＝，y＝时取“＝”．故选B．]3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，关于直线A1O，下列说法正确的是( )A．A1O∥D1CB．A1O∥平面B1CD1C．A1O⊥BCD．A1O⊥平面AB1D1B [由题意，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点O是四边形ABCD的中心，所以A1D∥B1C，OD∥B1D1，\n因为A1D∩DO＝D，B1D1∩B1C＝B1，A1D，DO⊂平面A1DO，B1C，B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1DO∥平面B1CD1.因为A1O⊂平面A1DO，所以A1O∥平面B1CD1，故选B．]4．(2020·福州市适应性考试)某校开设了素描、摄影、剪纸、书法四门选修课程，要求每位同学都要选择其中的两门课程．已知甲同学选了素描，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课程相同，丁与丙没有相同的课程．则以下说法错误的是( )A．丙有可能没有选素描B．丁有可能没有选素描C．乙、丁可能两门课程都相同D．这4个人里恰有2个人选了素描C [因为甲选了素描，所以乙必定没有选素描．假设丙选了素描，则丁一定没有选素描；若丙没有选素描，则丁必定选了素描．综上，必定有且只有2个人选了素描，选项A，B，D判断正确．不妨设甲另一门选修课程为摄影，则素描与摄影乙同学均不选修，则对于素描与摄影可能出现如下两种情形：情形一甲乙丙丁素描√×√×摄影√××√ 情形二甲乙丙丁素描√××√摄影√×√×由以上两个表可知，乙与丁必有一门课程不相同，因此C不正确．]5．图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的面积的和为( )\n图一 图二 图三A．nB．n2C．n－1D．n＋1D [最大的正方形面积为1，当n＝1时，由勾股定理及图二知上面两小正方形面积和等于下面正方形面积1，∴正方形面积的和为2，依次类推，可得所有正方形面积的和为n＋1，故选D．]6．某校组织高一年级8个班级的8支篮球队进行单循环比赛(每支球队与其他7支球队各比赛一场)，计分规则是：胜一局得2分，负一局得0分，平局双方各得1分．下面关于这8支球队的得分情况叙述正确的是( )A．可能有两支球队得分都是14分B．各支球队最终得分总和为56分C．各支球队中最高得分不少于8分D．得奇数分的球队必有奇数个B [8支篮球队进行单循环赛，总的比赛场数为7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28，每场比赛两个队得分之和总是2分，∴各支球队最终得分总和为56分，故选B．]7．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2e)＝－f(x)(其中e为自然对数的底数)，且在区间[e,2e]上是减函数；令a＝，b＝，c＝，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为( )A．f(b)＞f(a)＞f(c)B．f(b)＞f(c)＞f(a)C．f(a)＞f(b)＞f(c)D．f(a)＞f(c)＞f(b)A [∵f(x)在R上为奇函数且f(x＋2e)＝－f(x)，∴f(x＋2e)＝f(－x)，∴f(x)关于直线x＝e对称．∵f(x)在[e,2e]上为减函数，∴f(x)在[0，e]上为增函数．∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e，∴f(c)＜f(a)＜f(b)，故选A．]8．函数f(x)＝4cos2(ωx＋φ)－2的图象的相邻两条对称轴间的距离为，f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,1)，则下列说法不正确的是( )A．直线x＝是f(x)图象的一条对称轴\nB．ω＝1C．f(x)在上单调递增D．φ＝C [f(x)＝4cos2(ωx＋φ)－2＝2cos(2ωx＋2φ)，∵f(x)＝2cos(2ωx＋2φ)的图象的相邻两条对称轴间的距离为，∴函数f(x)的最小正周期T＝π，∴2ω＝＝＝2，∴ω＝1.∵f(0)＝1，∴cos2φ＝，∵0＜φ＜，∴0＜2φ＜π，∴2φ＝，∴φ＝，∴f(x)＝2cos，∴f＝2cos＝2cos2π＝2，∴直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴．令2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，令k＝0得－≤x≤－，∴函数f(x)＝2cos在上单调递增，令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，令k＝0得－≤x≤，∴函数f(x)＝2cos在上单调递减，∴f(x)＝2cos在上不单调．故选项C不正确．]二、填空题9．春节期间，某旅游景区推出掷圆圈套玩具鹅的游戏，吸引了一大批的游客参加，规则是：每人花10元拿到5个圆圈，在离最近的玩具鹅的2米处掷圆圈5次，只要圆圈连续套住同一只鹅颈3次，就可以获得套住的那只玩具鹅．假设某游客每次掷圆圈套住鹅颈的概率为，且每次掷圆圈的结果互不影响，则该游客获得一只玩具鹅的概率为． [设“第i次套住鹅颈”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)，则i表示“第i次未套住鹅颈”，依题意可得该游客能获得一只玩具鹅的3种情形：A1A2A3，1A2A3A4，12A3A4A5，而P(A1A2A3)＝＝，P(1A2A3A4)＝×＝，P(12A3A4A5)＝×＝，故该游客获得一只玩具鹅的概率为＋＋＝.]\n10．若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，公差为.类似，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{}的公比为． [由题设得，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝bq1＋2＋…＋(n－1)＝bq.所以＝b1q，所以等比数列{}的公比为.]11．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，则c＝.13 [∵(a＋b)sin＝12，(a－b)cos＝5，∴(a＋b)2sin2＝144①，(a－b)2cos2＝25②，①＋②得，a2＋b2－2ab＝169，∴a2＋b2－2abcosC＝c2＝169，∴c＝13.]12．(2020·烟台适应性训练)在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BD上一点，＝3，过E作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积的最小值为．π [根据已知条件，把棱长为1的正四面体ABCD放在棱长为的正方体内，如图所示．设H为BD中点，连接OH，OE，OF，EF，则OH＝＝，OH⊥BD．∵＝3，BD＝1，∴HE＝.在Rt△OHE中，OE2＝OH2＋HE2＝＋＝.设过E作该四面体的外接球的截面，则所得截面面积最小的截面为小圆E，则OE必垂直于该截面，设小圆E的半径为r，r＝EF，R＝OF，在Rt△OFE中，EF2＝OF2－OE2，\n则必有r2＝R2－OE2＝－OE2＝－＝，则所得截面面积的最小值为s＝πr2＝π.]三、解答题13．为提升教师专业功底，引领青年教师成长，某市教育局举行了全市“园丁杯”课堂教学比赛，在这次比赛中，通过录像课评比的片区预赛，有A，B，C，…，I，J共10位选手脱颖而出进入全市决赛．决赛采用现场上课形式，从学科评委库中采用随机抽样抽选7位评委，编号分别为1,2,3，…，7.比赛规则是：选手上完课，评委们当场评分，并从7位评委的评分中去掉一个最高分，去掉一个最低分，根据剩余5位评委的评分，算出平均分作为该选手的最终得分．记评委i(i＝1,2，…，7)对某选手评分排名与该选手最终排名的差的绝对值为“评委i对这位选手的分数排名偏差”．排名规则：由高到低依次排名，如果选手分数一样，认定名次并列(如：选手B，E分数一致排在第二，则认为他们同居第二名，没有第三名，接下来分数为第四名).7位评委的评分情况如表所示：1234567A81868984868584B76798074828075C87918990819383D92878889909391E91869088928888F81868982849189G82818584868387H91909392949391I85838379838781J92949491959392(1)根据评分表，填充如下表格；选手ABCDEFGHIJ平均分7888908986849283最终排名(2)试借助评委评分分析表，根据评委对各选手的排名偏差的平方和，判断评委4与评委5在这次活动中谁评判更准确．号评委评分分析表选手ABCDEFGHIJ最终排名评分排名\n排名偏差(3)从这10位选手中任意选出3位，记其中评委4比评委5对选手排名偏差小的选手数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．[解] (1)依据评分规则A＝＝85(分)，J＝＝93(分)．所以选手的平均分及最终排名如下表：选手ABCDEFGHIJ平均分85788890898684928393最终排名71053468291(2)对4号评委分析：4号评委评分分析表选手ABCDEFGHIJ最终排名71053468291评分排名61034586192排名偏差1021122101排名偏差平方和为12＋02＋22＋12＋12＋22＋22＋12＋02＋12＝17.对5号评委分析：5号评委评分分析表选手ABCDEFGHIJ最终排名71053468291评分排名59104375281排名偏差2151113010排名偏差平方和为22＋12＋52＋12＋12＋12＋32＋02＋12＋02＝43.由于17＜43，所以评委4评判更准确．(3)10位选手中，评委4比评委5评分偏差小的有5位，X的所有可能取值为0,1,2,3.所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以X的分布列为X0123\nP所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.14．已知平面直角坐标系内两定点A(－2，0)，B(2，0)及动点C(x，y)，△ABC的两边AC，BC所在直线的斜率之积为－.(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)设P是y轴上的一点，若(1)中轨迹E上存在两点M，N使得＝2，求以AP为直径的圆的面积的取值范围．[解] (1)由已知，kAC·kBC＝－，即·＝－，所以3x2＋4y2＝24，又三点构成三角形，所以y≠0，所以点C的轨迹E的方程为＋＝1(y≠0)．(2)设点P的坐标为(0，t)，当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，得到t＝±.当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y＝kx＋t(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由＝2得x1＝－2x2.①联立得得(3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－24＝0，由Δ＞0得64k2t2－4(3＋4k2)(4t2－24)＞0，整理得t2＜8k2＋6.所以x1＋x2＝－，x1x2＝，②由①②，消去x1，x2得k2＝.则解得＜t2＜6.不妨取M(－2，0)，可求得N，此时t＝±，由(1)知y≠0，故t2≠2.综上，≤t2＜2或2＜t2＜6.又以AP为直径的圆的面积S＝π·，所以S的取值范围是∪.\n15．已知函数f(x)＝(ax－a＋1)ex－1，g(x)＝ax2＋x－a，其中a∈R.(1)当a＝0时，求函数F(x)＝f(x)－(x－1)2在R上的零点个数；(2)对任意的x≥1，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝0时，F(x)＝f(x)－(x－1)2＝ex－1－(x－1)2，F′(x)＝ex－1－x＋1.令G(x)＝ex－1－x＋1，则G′(x)＝ex－1－1，当x＜1时，G′(x)＜0，当x＞1时，G′(x)＞0，所以G(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以G(x)≥G(1)＝1，所以F′(x)＞0，F(x)在R上单调递增．由于F(0)＝－＜0，F(1)＝1＞0，所以F(x)在R上只有1个零点．(2)令h(x)＝f(x)－g(x)＝(ax－a＋1)ex－1－ax2－x＋a，则对任意的x≥1，h(x)≥0恒成立，注意到h(1)＝0，h′(x)＝aex－1＋(ax－a＋1)ex－1－ax－1＝(ax＋1)ex－1－ax－1＝(ax＋1)(ex－1－1)．因为x≥1，所以ex－1－1≥0.当a≥0，x≥1时，ax＋1＞0，h′(x)≥0，所以h(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以当x≥1时，h(x)≥h(1)＝0，即对任意的x≥1，f(x)≥g(x)恒成立，符合题意．当a≤－1，x＞1时，ax＋1＜0，h′(x)＜0，所以h(x)在(1，＋∞)上是减函数，所以当x＞1时，h(x)＜h(1)＝0，即f(x)＜g(x)，不符合题意．当－1＜a＜0时，由(1)知，F(x)＝ex－1－(x－1)2在R上是增函数，且只有一个零点，设零点为x0，则x0∈(0,1)，当x≥1时，F(x)≥F(1)＞F(x0)＝0，即x≥1时，ex－1＞(x－1)2，所以－aex－1＞－a(x－1)2，则当x≥1时，h(x)＝(ax－a＋1)ex－1－ax2－x＋a＝(ax－a＋1)ex－1－a(x－1)2－(a＋1)x＋a＜(ax－a＋1)ex－1－aex－1－(a＋1)x＋a＝(ax－2a＋1)ex－1－(a＋1)x＋a，当ax－2a＋1＜0，即x＞2－＞1时，(ax－2a＋1)ex－1＜0，又当－1＜a＜0，x≥1时，－(a＋1)x＋a＜0，所以当x＞2－时，h(x)＜0，不符合题意．故实数a的取值范围是[0，＋∞)．选考题：请在第16、17题中任选一题作答．16．[选修4－4：坐标系与参数方程]\n在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(β为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2和C3的极坐标方程分别为θ＝α(ρ∈R)和θ＝＋α(ρ∈R)，其中0≤α＜.(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程；(2)设曲线C2与曲线C1交于A，B两点，曲线C3与曲线C1交于C，D两点，求四边形ACBD的面积的最大值和最小值．[解] (1)曲线C1的普通方程为(x－1)2＋y2＝4，由曲线C2的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)可知，曲线C2是经过原点且倾斜角为α的直线，所以曲线C2的参数方程为(t为参数)．(2)把代入(x－1)2＋y2＝4，得t2－2tcosα－3＝0，设方程t2－2tcosα－3＝0的两根分别为t1，t2，则t1＋t2＝2cosα，t1t2＝－3，|AB|＝|t1－t2|＝＝2，同理，由曲线C3的极坐标方程为θ＝＋α(ρ∈R)，可得|CD|＝2＝2，又易知AB⊥CD，所以四边形ACBD的面积S＝|AB||CD|＝2＝2，∵0≤α＜，∴当2α＝，即α＝时，四边形ACBD的面积取得最大值，最大值为7；当2α＝0，即α＝0时，四边形ACBD的面积取得最小值，最小值为4.17．[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－2a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式xf(x)≥8的解集；(2)若不等式f(x)≥|x－1|＋4有解，求实数a的取值范围．[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|x－4|＋2＝当x≥4时，由xf(x)≥8，得x2－2x－8≥0，得x≥4.当x＜4时，由xf(x)≥8，得x2－6x＋8≤0，得2≤x＜4.所以不等式xf(x)≥8的解集为{x|x≥2}．\n(2)由f(x)≥|x－1|＋4有解，可得|x－2a|－|x－1|≥4－a有解，又|x－2a|－|x－1|≤|(x－2a)－(x－1)|＝|2a－1|，所以|2a－1|≥4－a，①当a≥4时，不等式①恒成立；当≤a＜4时，不等式①可化为2a－1≥4－a，可得≤a＜4；当a＜时，不等式①可化为1－2a≥4－a，可得a≤－3.所以实数a的取值范围是(－∞，－3]∪.
