阶段质量检测(二)建议用时：40分钟一、选择题1.设全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}，集合B＝{x|2x≥2}，则(∁UA)∩B＝( )A.[4，＋∞)B．(1,4],C.[1,4)D．(1,4)C [由题意，全集U＝R，集合A＝{x|x2≥16}＝{x|x≤－4或x≥4}，,集合B＝{x|2x≥2}＝{x|x≥1}，所以∁UA＝{x|－4＜x＜4}，,所以(∁UA)∩B＝{x|1≤x＜4}＝[1,4)，故选C.]2.设f(x)＝，则f[f(11)]的值是( )A．1B．eC．e2D．e－1B [由分段函数解析式可得：f(11)＝log3(11－2)＝log332＝2，则f[f(11)]＝f(2)＝e，故选B.]3．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x－2y的最小值为( )A．1B．－2C．－5D．－7C [画出可行域如图所示，向上平移基准直线x－2y＝0到可行域边界A(3,4)的位置，由此求得目标函数的最小值为z＝3－2×4＝－5，故选C.]4．若曲线y＝lnx在x＝1处的切线也是y＝ex＋b的切线，则b＝( )A．－1B．－2C．2D．－eB [由y＝lnx得y′＝，故y′|x＝1＝1，切点坐标为A(1,0)，故切线方程为y＝x－1.设y＝ex＋b的切点为B(m，em＋b)，∵y′＝ex，∴em＝1，所以m＝0，将m＝0代入切线方程得B(0，－1)，将B(0，－1)代入y＝em＋b得：－1＝e0＋b，得b＝－2，故选B.]5．(2020·龙岩模拟)已知函数f(x)＝－ax在(1，＋∞)上有极值，则实数a的取值范围为( )\nA.B.C.D.B [f′(x)＝－a，设g(x)＝＝－，∵函数f(x)在区间(1，＋∞)上有极值，∴f′(x)＝g(x)－a在(1，＋∞)上有变号零点，令＝t，由x＞1可得lnx＞0，即t＞0，得到y＝t－t2＝－＋≤，又a＝时，f(x)为减函数，无极值，∴a＜，故选B.]7．设f(x)＝|lnx|，若函数g(x)＝f(x)－ax在(0,4)上有三个零点，则实数a的取值范围是( )A.B.C.D.\nD [令y1＝f(x)＝|lnx|，y2＝ax，若函数g(x)＝f(x)－ax在(0,4)上有三个零点，则y1＝|lnx|与y2＝ax的图象在(0,4)上有三个交点．由图象(图略)易知，当a≤0时，不符合题意；当a＞0时，易知y1＝|lnx|与y2＝ax的图象在(0,1)上有一个交点，所以只需要y1＝|lnx|与y2＝ax的图象在(1,4)上有两个交点即可，此时|lnx|＝lnx．由lnx＝ax，得a＝.令h(x)＝，x∈(1,4)，则h′(x)＝，故函数h(x)在(1，e)上单调递增，在(e,4)上单调递减．因为h(e)＝＝，h(1)＝0，h(4)＝＝，所以＜a＜，故选D.]8．(2020·全国卷Ⅰ)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则( )A．a>2bB．a<2bC．a>b2D．a<b2B [令f(x)＝2x＋log2x，因为y＝2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＝2x＋log2x在(0，＋∞)上单调递增．又2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b<22b＋log22b，所以f(a)<f(2b)，所以a<2b.故选B.]二、填空题9．若直线y＝kx与曲线y＝x＋e－x相切，则k＝________.10．若函数f(x)＝(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋log＝________.－1 [由f(1)＝0，知a＞1，且＝1，解得a＝2.∴log2＋log＝log2－log2＝log2＝－1.]11．已知函数f(x)＝x3－bx2＋c(b，c为常数)．当x＝2时，函数f(x)取得极值，若函数f(x)有三个零点，则实数c的取值范围为________． [∵f(x)＝x3－bx2＋c，∴f′(x)＝x2－2bx.∵当x＝2时，f(x)取得极值，∴22－2b×2＝0，解得b＝1.∴当x∈(0,2)时，f(x)单调递减，当x∈(－∞，0)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增．\n若f(x)＝0有3个实根，则解得0＜c＜.]12.已知函数f(x)的定义域是[－1，5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，x－10245f(x)121.521下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1＜a＜2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．其中所有正确命题的序号是________．①②④ [由导函数的图象可知，当－1＜x＜0及2＜x＜4时，f′(x)＞0，函数单调递增，当0＜x＜2及4＜x＜5时，f′(x)＜0，函数单调递减，当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5.又f(－1)＝f(5)＝1，所以函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①②正确；因为当x＝0及x＝4时，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，则0≤t≤5，所以t的最大值为5，所以③不正确；因为极小值f(2)＝1.5，极大值f(0)＝f(4)＝2，所以当1＜a＜2时，y＝f(x)－a最多有4个零点，所以④正确，所以正确命题的序号为①②④.]三、解答题13．已知2x≤256，且log2x≥.(1)求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，求函数f(x)＝(log2)×(log2x)的最大值和最小值．[解] (1)由2x≤256得x≤8，log2x≥得x≥，所以≤x≤8.(2)由(1)≤x≤8得≤log2x≤3，\nf(x)＝(log2)×(log2x)＝×2(1＋log2x)＝log2x(1＋log2x)，所以f(x)＝log2x(1＋log2x)＝－，当log2x＝时，f(x)min＝.当log2x＝3时，f(x)max＝12.14．已知函数f(x)＝(m∈R)．(1)当m＝3时，判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)当m＞1时，判断并证明函数f(x)在R上的单调性．[解] (1)当m＝3时，函数f(x)＝为奇函数．由题意知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝＝＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)当m＞1时，函数f(x)＝＝－1＋在R上为减函数．设x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－1＋＋1－15．[结构不良试题]在“①函数f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线斜率为2a；②函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直；③函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线4x－y＝0平行”这三个条件中任选一个，补充在下面问题(1)中，求出实数a的值．已知函数f(x)＝x2＋2alnx.(1)若________，求实数a的值；(2)若函数g(x)＝＋f(x)在[1,2]上是减函数，求实数a的取值范围．[解] (1)若选①，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，\n由已知f′(2)＝2a，得＝2a，解得a＝4.若选②，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，直线x＋y＋1＝0的斜率为－，由题意得f′(1)＝2，得2＋2a＝2，解得a＝0.若选③，对f(x)求导，得f′(x)＝2x＋＝，直线4x－y＝0的斜率为4，由题意得f′(1)＝4，得2＋2a＝4，解得a＝1.(2)对g(x)＝＋x2＋2alnx求导，得g′(x)＝－＋2x＋.由函数g(x)在[1,2]上是减函数，可得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，即－＋2x＋≤0在[1,2]上恒成立，即a≤－x2在[1,2]上恒成立．令h(x)＝－x2，当x∈[1,2]时，h′(x)＝－－2x＝－＜0，由此知h(x)在[1,2]上为减函数，所以h(x)min＝h(2)＝－，故a≤－.于是实数a的取值范围为.16．设函数f(x)＝x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥0时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．[解] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝，当m≤0时，f′(x)＞0，所以函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．当m＞0时，f′(x)＝，当0＜x＜时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x＞时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．综上，当m≤0时，函数f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m＞0时，函数f(x)的单调递增区间是(，＋∞)，单调递减区间是(0，)．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－x2＋(m＋1)x－mlnx，x＞0，问题等价于求函数F(x)的零点个数．当m＝0时，F(x)＝－x2＋x，x＞0，F(x)有唯一零点．\n当m≠0时，F′(x)＝－，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)单调递减，因为F(1)＝＞0，F(4)＝－ln4＜0，所以F(x)有唯一零点．当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时，F′(x)＜0；1＜x＜m时，F′(x)＞0.所以函数F(x)在(0,1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，因为F(1)＝m＋＞0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点．当0＜m＜1时，0＜x＜m或x＞1时，F′(x)＜0；m＜x＜1时，F′(x)＞0.所以函数F(x)在(0，m)和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得lnm＜0，所以F(m)＝(m＋2－2lnm)＞0，而F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点．综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象有一个交点．
