阶段质量检测(六)建议用时：40分钟一、选择题1．(2020·沈阳三模)已知抛物线x2＝2py上一点A(m,1)到其焦点的距离为p，则p＝( )A．2B．－2C．4D．－4A [依题意可知抛物线的准线方程为y＝－，∵抛物线x2＝2py(p＞0)上一点A(m,1)到其焦点的距离为p，∴点A到准线的距离为1＋＝p，解得p＝2.故选A．]2．(2020·朝阳区二模)圆心在直线x－y＝0上且与y轴相切于点(0,1)的圆的方程是( )A．(x－1)2＋(y－1)2＝1B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1C．(x－1)2＋(y－1)2＝2D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2A [根据题意，要求圆的圆心在直线x－y＝0上，则设要求圆的圆心的坐标为(m，m)，又由要求圆与y轴相切于点(0,1)，则圆心在直线y＝1上，则m＝1，要求圆的半径r＝1，故要求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，故选A．]3．(2020·洛阳三模)已知直线l1：xsinα＋2y－1＝0，直线l2：x－ycosα＋3＝0，若l1⊥l2，则tan2α＝( )A．－B．－C．D．B [直线l1：xsinα＋2y－1＝0，直线l2：x－ycosα＋3＝0，若l1⊥l2，则sinα－2cosα＝0，即sinα＝2cosα，所以tanα＝2，所以tan2α＝＝＝－.故选B．]4．(2020·天津高考)设双曲线C的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，过抛物线y2＝4x的焦点和点(0，b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为( )A．－＝1B．x2－＝1C．－y2＝1D．x2－y2＝1D [由题可知，抛物线的焦点为(1,0)，所以直线l的方程为x＋＝1，即直线的斜率为－b，\n又双曲线的渐近线的方程为y＝±x，所以－b＝－，－b×＝－1，因为a＞0，b＞0，解得a＝1，b＝1.故选D．]5．(2020·湖南六校联考)设m∈R，已知圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y＋30－m＝0，则“m＞21”是“圆C1和圆C2相交”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件B [由已知圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝m－5，若圆C1和圆C2相交，则|1－|＜|C1C2|＝＝5＜1＋，解得21＜m＜41，“m＞21”是“21＜m＜41”的必要而不充分条件．故选B．]6．(2020·泉州一模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线2x＋y－4＝0与y轴交于点A，线段AF2与E交于点B．若|AB|＝|BF1|，则E的方程为( )A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋y2＝1D [由题可得A(0,4)，F2(2,0)，所以c＝2，又|AB|＝|BF1|，所以2a＝|BF1|＋|BF2|＝|AF2|＝2，得a＝，∴b＝1，所以椭圆的方程为＋y2＝1.故选D．]7．(2020·全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )A．4B．8C．16D．32B [由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D(a，b)，E(a，－b)，所以S△ODE＝×a×|DE|＝×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C\n的焦距的最小值为8，故选B．]8．(2020·高密一中高三月考)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米，远地点B(离地面最远的点)距地面n千米，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，给出以下四个结论：①a－c＝m＋R②a＋c＝n＋R③2a＝m＋n④b＝则上述结论正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④B [因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得(*)∴a－c＝m＋R，故①正确；a＋c＝n＋R，故②正确；(*)两式相加m＋n＝2a－2R，可得2a＝m＋n＋2R，故③不正确；由(*)可得，两式相乘可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2.∴b2＝(m＋R)(n＋R)⇒b＝，故④正确．故选B．]二、填空题9．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为．2 [由得x－y＋2＝0.由于x2＋y2－4＝0的圆心为(0,0)，半径r＝2，且圆心(0,0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以公共弦长为2＝2＝2.]10．(2020·绥德中学模拟)以椭圆C：＋＝1在x轴上的顶点和焦点分别为焦点和顶点的双曲线方程为；此双曲线的渐近线方程为．\nx2－＝1 2x＋y＝0和2x－y＝0 [由椭圆C：＋＝1可知，双曲线的焦点为(－，0)，(，0)，双曲线顶点为(－1,0)，(1,0)，∴a＝1，c＝，∴b2＝c2－a2＝4，故双曲线的方程为x2－＝1，渐近线方程为2x＋y＝0和2x－y＝0.]11．(2020·桂林模拟)设F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为椭圆上一个点，∠F1PF2＝60°，|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项，则该椭圆的离心率为． [因为|F1F2|为|PF1|与|PF2|的等比中项，所以|F1F2|2＝4c2＝|PF1||PF2|，在△F1PF2中，由余弦定理知，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1||PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，即4c2＝4a2－12c2，所以4c2＝a2，则离心率e＝＝.]12．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2,0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝.8 [过点(－2,0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1,2)，N(4,4)，易知F(1,0)，所以＝(0,2)，＝(3,4)，所以·＝8.]三、解答题13．(2020·宁夏三模)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，点P(x0,3)为抛物线C上一点，且点P到焦点F的距离为4，过A(a,0)作抛物线C的切线AN(斜率不为0)，切点为N.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求证：以FN为直径的圆过点A．[解] (1)由题知，|PF|＝yP＋，∴4＝3＋，解得p＝2，\n∴抛物线C的标准方程为x2＝4y.(2)设切线AN的方程为y＝k(x－a)，k≠0，联立，消去y可得x2－4kx＋4ka＝0，由题意得Δ＝16k2－16ka＝0，即a＝k，∴切点N(2a，a2)，又F(0,1)，∴·＝(－a,1)(a，a2)＝0.∴∠FAN＝90°，故以FN为直径的圆过点A．14．(2020·全国卷Ⅱ)已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合，过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|＝|AB|.(1)求C1的离心率；(2)设M是C1与C2的公共点，若|MF|＝5，求C1与C2的标准方程．[解] (1)由已知可设C2的方程为y2＝4cx，其中c＝.不妨设A，C在第一象限，由题设得A，B的纵坐标分别为，－；C，D的纵坐标分别为2c，－2c，故|AB|＝，|CD|＝4c.由|CD|＝|AB|得4c＝，即3×＝2－2.解得＝－2(舍去)或＝.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a＝2c，b＝c，故C1：＋＝1.设M(x0，y0)，则＋＝1，y＝4cx0，故＋＝1.①由于C2的准线为x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得＋＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)或c＝3.所以C1的标准方程为＋＝1，C2的标准方程为y2＝12x.\n15．(2020·成都模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知A(－2,0)，B(2,0)，且|PA|＋|PB|＝4，记动点P的轨迹为C．(1)求曲线C的方程；(2)过点(2,0)的直线l与曲线C相交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．[解] (1)由题意可知|PA|＋|PB|＝4＞|AB|＝4，∴由椭圆的定义可得：动点P的轨迹C是以A，B为焦点的椭圆，其中2a＝4，2c＝4，∴a＝2，c＝2，∴b2＝a2－c2＝4，∴曲线C的方程为＋＝1.(2)假设定点Q存在，设Q(m,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的方程为x＝ty＋2.∵∠MQO＝∠NQO，∴直线MQ与直线NQ的斜率互为相反数，即kMQ＋kNQ＝0.由，得(t2＋2)y2＋4ty－4＝0，∴y1＋y2＝－，y1y2＝.又kMQ＝＝，kNQ＝＝，∴＋＝0，整理得2ty1y2＋(2－m)(y1＋y2)＝0，∴2t×＋(2－m)＝0，解得m＝4.所以存在定点Q(4,0)，使得∠MQO＝∠NQO.16．(2020·蚌埠三模)如图，设抛物线C1：x2＝4y与抛物线C2：y2＝2px(p＞0)在第一象限的交点为M，点A，B分别在抛物线C2，C1上，AM，BM分别与C1，C2相切．(1)当点M的纵坐标为4时，求抛物线C2的方程；(2)若t∈[1,2]，求△MBA面积的取值范围．\n[解] (1)由条件，＝4且t＞0，解得t＝4，即点M(4,4)，代入抛物线C2的方程，得8p＝16，所以p＝2，则抛物线C2的方程为y2＝4x.(2)将点M代入抛物线C2的方程，得p＝.设点A(x1，y1)，直线AM方程为y＝k1(x－t)＋，联立消去y，化简得x2－4k1x＋4k1t－t2＝0，则Δ＝16k－4(4k1t－t2)＝0，解得k1＝，从而直线AM的斜率＝＝＝＝，解得y1＝－，即点A.设点B(x2，y2)，直线BM方程为y＝k2(x－t)＋，联立消去x，化简得y2－y－2p＝0，则Δ＝＋8p＝0，代入p＝，解得k2＝，从而直线BM的斜率为＝＝＝，解得x2＝－，即点B.|MB|＝＝，点A到直线BM：y＝x＋，即tx－8y＋t2＝0的距离为d＝＝\n，故△MBA的面积为S△MBA＝|MB|·d＝，而t∈[1,2]，所以△MBA面积的取值范围是.
