2013年高考数学总复习第七章第3课时圆的方程课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心为(a，－b)，则a<0，b>0.直线y＝－x－，k＝－>0，－>0，直线不经过第四象限，故选D.2．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于( )A．πB．4πC．8πD．9π解析：选B.设P(x，y)，由题意知有：(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得x2－4x＋y2＝0，配方得(x－2)2＋y2＝4.可知圆的面积为4π，故选B.3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴均相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－3)2＋(y－)2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－)2＋(y－1)2＝1解析：选B.设圆心为(a，b)(a>0，b>0)，依题意有＝b＝1，∴a＝2，b＝1，∴圆的标准方程(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B.4．方程|x|－1＝所表示的曲线是( )A．一个圆B．两个圆C．半个圆D．两个半圆解析：选D.原方程即即或故原方程表示两个半圆．5．(2012·阜新质检)一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是( )A．4B．5C．3－1D．2解析：选A.圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径r＝1.点A(－1，1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|－r，即－1＝4.二、填空题6．(2010·高考天津卷)已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．解析：直线x－y＋1＝0与x轴的交点为(－1,0)，即圆C的圆心坐标为(－1,0)．又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴圆C的半径为r＝＝.3\n∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝27．如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0.那么当圆面积最大时，圆心为________．解析：将方程配方，得(x＋)2＋(y＋1)2＝－k2＋1.∴r2＝1－k2>0，rmax＝1，此时k＝0.∴圆心为(0，－1)．答案：(0，－1)8．圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程为________．解析：如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，所以∠AOB＝120°.而圆心到直线3x＋4y＋15＝0的距离d＝＝3，在△AOB中，可求得OA＝6.所以所求圆的方程为x2＋y2＝36.答案：x2＋y2＝36三、解答题9．(2011·高考课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上．(1)求圆C的方程；(2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．解：(1)曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)．故可设C的圆心为(3，t)，则有32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1.则圆C的半径为＝3.所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组消去y，得方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0.由已知可得，判别式Δ＝56－16a－4a2>0.因此x1,2＝，从而x1＋x2＝4－a，x1x2＝.①由于OA⊥OB，可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a，所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.②由①②得a＝－1，满足Δ>0，故a＝－1.10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2的圆C与直线y＝x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝8，3\n∵直线y＝x与圆C相切于原点O.∴O点在圆C上，且OC垂直于直线y＝x，于是有⇒或.由于点C(a，b)在第二象限，故a<0，b>0.∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解之得x＝或x＝0(舍去)．所以存在点Q(，)，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长．11．(探究选做)如图，某景区内有A、B两个景点在一条小路(直道)的同侧，分别距小路km和2km，且A、B两景点间的距离为2km，今欲在小路上设一观景台，使两景点同时进入视线并有最佳观赏和拍摄效果，则观景台应设在何处？解：以小路为x轴，过B垂直于小路的直线为y轴建立如图所示的直角坐标系，依据题意，观景台应是AB的垂直平分线与x轴的交点，设为M(a,0)，则A(－，)，B(0,2)．依据题意|MA|＝|MB|，∴＝，∴a＝.因此，观景台应是景点B在小路投影右侧km处．3
