（江苏专用）2013年高考数学总复习第八章第4课时直线与圆、圆与圆的位置关系课时闯关（含解析）[A级 双基巩固]一、填空题1．圆C：x2＋y2＋6x＋5＝0被直线l：x－y＋5＝0所截得的弦长为________．解析：⊙C：(x＋3)2＋y2＝4，则圆心到直线的距离d＝＝，∴弦长l＝×2＝2.答案：22．两圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0公切线的条数是________．解析：圆x2＋y2－6x＋6y－48＝0配成标准方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝64，圆心坐标(3，－3)半径r1＝8.而圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0配成标准方程为(x＋2)2＋(y－4)2＝64，∴圆心坐标(－2,4)，半径r2＝8，圆心距d＝＜r1＋r2，从而两圆相交，故公切线有两条．答案：23．与圆x2＋(y－2)2＝1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有________条．解析：有两条相互垂直的直线，另两条直线过原点．答案：44．若直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝1相交于P、Q两点，∠POQ＝120°(其中O为原点)，则k的值为________．解析：设直线PQ与x轴交于M点，易知∠OMP＝60°，∴k＝tan60°或tan120°，即k＝±.答案：－或5．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则l的方程为________．解析：圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，所以圆心(－1,2)，半径r＝5.由于弦长|AB|＝8，解圆中的直角三角形可得圆心到弦所在直线的距离d＝＝3.直线l过点(－4,0)，当直线斜率不存在时，方程为x＋4＝0，显然成立．当斜率存在时，可设为k，则直线方程可化为kx－y＋4k＝0，d＝＝3，解之可得k＝－.代回方程化简得5x＋12y＋20＝0.综上，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋22y＋20＝0.答案：x＋4＝0或5x＋12y＋20＝06．(2010·高考江西卷改编)直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是________．解析：如图，记题中的圆的圆心为C(2,3)，作CD⊥MN于D，则|CD|＝，6\n于是有|MN|＝2|MD|＝2＝2≥2，即4－≥3，解得－≤k≤.答案：[－，]7．若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．解析：曲线y＝3－表示圆(x－2)2＋(y－3)2＝4的下半圆，如图所示，当直线y＝x＋b经过点(0,3)时，b取最大值3，当直线与半圆相切时，b取最小值，由＝2⇒b＝1－2或1＋2(舍)．答案：[1－2，3]8．(2010·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．解析：如图，圆x2＋y2＝4的半径为2，圆上有且仅有四个点到直线的距离为1，问题转化为原点(0,0)到直线12x－5y＋c＝0的距离小于1.即＜1，＜13，∴－13<c<13.答案：(－13,13)二、解答题9．已知圆C：x2＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y＝0.(1)求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程；(2)若在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C上任意一点P，都有为一常数，求所有满足条件的点B的坐标．解：(1)设所求直线方程为y＝－2x＋b，即2x＋y－b＝0，∵直线与圆相切，6\n∴＝3，得b＝±3，∴所求直线方程为y＝－2x±3.(2)假设存在这样的点B(t,0)，当P为圆C与x轴左交点(－3,0)时，＝；当P为圆C与x轴右交点(3,0)时，＝，依题意，＝，解得，t＝－5(舍去)，或t＝－.下面证明点B(－，0)对于圆C上任一点P，都有为一常数．设P(x，y)，则y2＝9－x2，∴＝＝＝＝，从而＝为常数．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为圆C1被直线l截得的弦长为2，所以d＝＝1.由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．因为圆C1和C2的半径相等，且圆C1被直线l1截得的弦长与圆C2被直线l2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l26\n的距离相等，即＝，整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，因为k的取值有无穷多个，所以或解得或这样点P只可能是点P1或点P2.经检验点P1和P2满足题目条件．[B级 能力提升]一、填空题1．(2011·高考全国卷改编)设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝________.解析：∵两圆都和两坐标轴相切且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横纵坐标相等，设两圆圆心分别为(a，a)(b，b)．则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2.即a，b是方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17，∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32.∴|C1C2|＝＝＝8.答案：82．圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是________．解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，由题意知圆心(－1,2)在直线2ax－by＋2＝0上，因此－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，a2＋b2＋2ab≥4ab.∴4ab≤1，即ab≤.当且仅当a＝b＝时等号成立．答案：(－∞，]3．设有一组圆Ck：(x－k＋1)2＋(y－3k)2＝2k4(k∈N*)下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点．其中真命题的序号是________．解析；圆心为(k－1,3k)，圆心在y＝3(x＋1)上移动，半径也随k增大而增大，故y＝3(x＋1)一定与所有的圆均相交．故②正确，③不正确．对于选项①，设存在定直线Ax＋By＋C＝0与圆相切．∴d＝r，则与k无关．又k2＝显然该式中k不可能消去，故①不正确．对于选项④.只需代入坐标原点验证即可．答案：②④4．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝x＋2m和圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*,0＜≤1，若函数f(x)＝mx＋1－n的零点x0∈(k，k＋1)，k∈Z，则k＝________.解析：∵直线y＝x＋2m和圆x2＋y2＝n2相切，6\n∴＝n，即2m＝2n.∵m，n∈N*,0＜≤1，∴m＝3，n＝4.∴f(x)＝3x＋1－4.令3x＋1－4＝0，得x＝log34－1∈(0,1)，故k＝0.答案：0二、解答题5．(2012·盐城质检)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1(－4,0)，F2(4,0)，A(0,8)，直线y＝t(0＜t＜8)与线段AF1、AF2分别交于点P、Q.(1)当t＝3时，求以F1，F2为焦点，且过PQ中点的椭圆的标准方程；(2)过点Q作直线QR∥AF1交F1F2于点R，记△PRF1的外接圆为圆C.①求证：圆心C在定直线7x＋4y＋8＝0上；②圆C是否恒过异于点F1的一个定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．解：(1)设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，当t＝3时，PQ的中点为(0,3)，所以b＝3而a2－b2＝16，所以a2＝25，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)①证明：法一：易得直线AF1：y＝2x＋8；AF2：y＝－2x＋8，所以可得P(，t)，Q(，t)，再由QR∥AF1，得R(4－t,0)，则线段F1R的中垂线方程为x＝－，线段PF1的中垂线方程为y＝－x＋，由，解得△PRF1的外接圆的圆心坐标为(－，－2)．经验证，该圆心在定直线7x＋4y＋8＝0上．法二：易得直线AF1：y＝2x＋8；AF2：y＝－2x＋8，所以可得P(，t)，Q(，t)，再由QR∥AF1，得R(4－t,0)设△PRF1的外接圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则y＝，解得，所以圆心坐标为(－，－2)，经验证，该圆心在定直线7x＋4y＋8＝0上．②由①可得圆C的方程为x2＋y2＋tx＋(4－t)y＋4t－16＝0.该方程可整理为(x2＋y2＋4y－16)＋t(x－y＋4)＝0，则由，解得或.所以圆C恒过异于点F1的一个定点，该点坐标为(，)．6\n6．已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2＝2x上，其中O为坐标原点，设圆C是△OAB的外接圆(点C为圆心)．(1)求圆C的方程；(2)设圆M的方程为(x－4－7cosθ)2＋(y－7sinθ)2＝1，过圆M上任意一点P分别作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求·的最大值和最小值．解：(1)设A，B两点坐标分别为(，y1)，(，y2)，由题设知＋ ＝2 .解得y＝y＝12，所以A(6,2)，B(6，－2)或A(6，－2)，B(6,2)．设圆心C的坐标为(r,0)，则r＝×6＝4，所以圆C的方程为(x－4)2＋y2＝16.(2)设∠ECF＝2α，则·＝||·||cos2α＝16cos2α＝32cos2α－16.在Rt△PCE中，cosα＝＝，由圆的几何性质得|PC|≤|MC|＋1＝7＋1＝8，|PC|≥|MC|－1＝7－1＝6，所以≤cosα≤，由此可得－8≤·≤－.则·的最大值为－，最小值为－8.6
