2013年高考数学总复习第二章第5课时一次函数和二次函数随堂检测（含解析）新人教版一、选择题1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是( )A．0,2 B．0，C．0，－D．2，－解析：选C.∵2a＋b＝0，∴g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，所以零点为0和－.2．(2011·高考课标全国卷)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )A.B.C.D.解析：选C.∵f(x)＝ex＋4x－3，∴f′(x)＝ex＋4>0.∴f(x)在其定义域上是严格单调递增函数．∵f＝e－－4<0，f(0)＝e0＋4×0－3＝－2<0，f＝e－2<0，f＝e－1>0，∴f·f<0.3．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一个解，则a的取值范围是( )A．a<－1B．a>1C．－1<a<1D．0≤a<1解析：选B.当a＝0时，x＝－1不合题意，故排除C、D.当a＝－2时，方程可化为4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16<0，无实根，故a＝－2不适合，排除A.4．已知函数f(x)＝x3－2x2＋2有唯一零点，则下列区间上必存在零点的是( )A．(－2，－)B．(－，－1)C．(－1，－)D．(，0)解析：选C.由题意，可知f(－1)·f(－)<0，故f(x)在(－1，－)上必存在零点，故选C.5．(2012·丹东调研)已知函数f(x)＝log2x－()x，若实数x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，则f(x1)的值( )A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零解析：选A.由题意知f(x0)＝0，f(x)＝log2x－()x在(0，＋∞)为增函数，又0<x1<x0，所以f(x1)<f(x0)＝0，故选A.二、填空题3\n6．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是________．解析：由计算器可算得f(2)＝－1，f(3)＝16，f(2.5)＝5.625，f(2)·f(2.5)<0，所以下一个有根区间为(2，2.5)．答案：(2,2.5)7．若函数f(x)的图象是连续不断的，根据下面的表格，可断定f(x)的零点所在的区间为________(只填序号)．①(－∞，1] ②[1,2] ③[2,3] ④[3,4] ⑤[4,5] ⑥[5，6] ⑦[6，＋∞)x123456f(x)136.12315.542－3.93010.678－50.667－305.678解析：用二分法解题时要注意，根据区间两个端点函数值符号的异同，确定零点所在区间．答案：③④⑤8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)＞0的解集是________．解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2,3.∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由根与系数的关系知，∴，∴f(x)＝x2－x－6.∵不等式af(－2x)＞0，即－(4x2＋2x－6)＞0⇔2x2＋x－3＜0，解集为{x|－＜x＜1}．答案：{x|－＜x＜1}三、解答题9．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.求证：存在x0∈(0，)，使f(x0)＝x0.证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g()＝f()－＝－，∴g(0)·g()<0.又函数g(x)在[0，]上连续，所以存在x0∈(0，)，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.10．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．解：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]．(1)f(x)＝0在区间[0,2]上有一解．∵f(0)＝1>0，∴应有f(2)≤0⇒m≤－.(2)f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则∴－≤m≤－1.由(1)(2)知：m≤－1.11．(探究选做)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．解：若实数a满足条件，则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)3\n＝4(1－a)(5a＋1)≤0.所以a≤－或a≥1.检验：(1)当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x.令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.(2)当f(3)＝0时，a＝－.此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0，解之，得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－.综上所述，a<－或a>1.3
