（福建专用）2013年高考数学总复习第七章第7课时双曲线课时闯关（含解析）一、选择题1．(2011·高考陕西卷)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是( )A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解析：选B.设抛物线方程为y2＝ax，则准线方程为x＝－于是－＝－2⇒a＝8.2．抛物线y＝4x2的焦点坐标为( )A．(0,1)B．(1,0)C．(0，)D．(0，)解析：选C.由x2＝y，∴p＝.所以，焦点坐标为.3．(2012·泉州质检)过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )A．9B．8C．7D．6解析：选B.直线过焦点，|PQ|＝|PF|＋|QF|，将|PF|、|QF|转化为到准线距离之和，故|PQ|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝8.4．设A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并且满足OA⊥OB，则y1y2等于( )A．－4p2B．－3p2C．－2p2D．－p2解析：选A.∵OA⊥OB，∴O·O＝0.∴x1x2＋y1y2＝0.①∵A、B都在抛物线上，∴∴代入①得·＋y1y2＝0，解得y1y2＝－4p2.5．(2010·高考山东卷)已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B.∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)，∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2，∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.二、填空题6．(2010·高考重庆卷)已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________.5\n解析：设A(x0，y0)，由抛物线定义知x0＋1＝2，∴x0＝1，则直线AB⊥x轴，∴|BF|＝|AF|＝2.答案：27．已知抛物线型拱桥的顶点距离水面2米时，测量水面宽为8米，当水面上升米后，水面的宽度是________米．解析：设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程为x2＝－8y，水面上升米，则y＝－，代入方程，得x2＝－8·(－)＝12，x＝±2.故水面宽4米．答案：48．过点M(1,0)作直线与抛物线y2＝4x交于A、B两点，则＋＝________.解析：设直线方程为y＝k(x－1)，代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，∴＋＝＋＝＝1.答案：1三、解答题9．抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，并与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为(，)，求抛物线与双曲线方程．解：由题设知，抛物线以双曲线的右焦点为焦点，准线过双曲线的左焦点，∴p＝2c，设抛物线方程为y2＝4c·x.∵抛物线过点(，)，∴6＝4c·.∴c＝1，故抛物线方程为y2＝4x.又双曲线－＝1过点(，)，∴－＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴－＝1.∴a2＝或a2＝9(舍)．5\n∴b2＝，故双曲线方程为：4x2－＝1.10．(2012·苏州高三调研)在平面直角坐标系xOy中，动点P到定点F(1,0)的距离与定直线l：x＝－1的距离相等．(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)过点F作倾斜角为45°的直线m交轨迹E于点A，B，求△AOB的面积．解：(1)设P(x，y)，由抛物线定义知，点P的轨迹E为抛物线，方程为y2＝4x.(2)l：y＝x－1，代入y2＝4x，消去x得y2－4y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|y2－y1|＝4，所以S△AOB＝×|OF|×|y2－y1|＝×1×4＝2.一、选择题1．(2011·高考大纲全国卷)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos∠AFB＝( )A.B.C．－D．－解析：选D.∵y2＝4x得F(1,0)，准线方程为x＝－1，由得A(1，－2)，B(4,4)．则|AB|＝＝3，由抛物线的定义得|AF|＝5，|BF|＝2.由余弦定理得cos∠AFB＝＝－故选D.2.如图，F为抛物线y2＝4x的焦点，A、B、C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||等于( )A．6B．4C．3D．2解析：选A.由F(1,0)且＋＋＝0知F为△ABC的重心，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则x1＋x2＋x3＝3.又||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝3＋3＝6.二、填空题3．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．解析：因为抛物线顶点在原点，焦点F(1,0)，故抛物线方程为y2＝4x，设A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，则y＝4x1，y＝4x2.∴(y1－y2)(y1＋y2)＝4(x1－x2)，∴kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.答案：y＝x4．对于抛物线y2＝2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是________．5\n解析：设抛物线y2＝2x上任意一点Q，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，若a≤0，显然适合；若a>0，点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|，即a2≤2＋y2，即a≤＋1，此时0<a≤1.∴a的取值范围是(－∞，1]．答案：a≤1三、解答题5．已知直线AB与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B两点，且以AB为直径的圆经过坐标原点O，OD⊥AB于点D，点D的坐标为(2,1)，求抛物线的方程．解：由题意得kOD＝，∵AB⊥OD，∴kAB＝－2，又直线AB过点D(2,1)，∴直线AB的方程为y＝－2x＋5，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵以AB为直径的圆过点O，∴O·O＝0，即x1x2＋y1y2＝0，由得4x2－(2p＋20)x＋25＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，∴y1y2＝(－2x1＋5)(－2x2＋5)＝4x1x2－10(x1＋x2)＋25＝25－5p－50＋25＝－5p，∴＋(－5p)＝0，∴p＝，∴抛物线方程为y2＝x.6．(2012·厦门质检)已知点F(1,0)和直线l1：x＝－1，直线l2过直线l1上的动点M且与直线l1垂直，线段MF的垂直平分线l与直线l1相交于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)设直线PF与轨迹C相交于另一点Q，与直线l1相交于点N，求·的最小值．解：(1)连接PF(图略)，因为MF的垂直平分线l交l2于点P，所以|PF|＝|PM|.即点P到定点F(1,0)的距离等于点P到直线l1：x＝－1的距离．由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线y2＝4x.(2)法一：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．直线PF：y＝k(x－1)．代入y2＝4x得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，有k≠0且Δ＞0.并且，而N(－1，－2k)，＝(x1＋1，k(x1＋1))．＝(x2＋1，k(x2＋1))，5\n·＝(k2＋1)[x1x2＋(x1＋x2)]＝4≥4·＝16.当且仅当k＝±1时取等号．综上，·的最小值为16.5
