2013年高考数学总复习第七章第5课时椭圆课时闯关（含解析）新人教版一、选择题1．已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝，则椭圆的标准方程为( )A.＋y2＝1 B．x2＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C.由题意，c＝1，e＝＝，∴a＝2，∴b＝＝，又椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的方程为＋＝1.2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.解析：选B.2x2＋3y2＝m(m>0)⇒＋＝1，∴c2＝－＝，∴e2＝，∴e＝.故选B.3．在一椭圆中以焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，则此椭圆的离心率e等于( )A.B.C.D.解析：选B.∵以椭圆焦点F1、F2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两端点，∴椭圆满足b＝c，∴e＝＝，将b＝c代入可得e＝.4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A．(－3,0)B．(－4,0)C．(－10,0)D．(－5,0)解析：选D.∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标为(3,0)，∴c＝3，又b＝4，∴a＝＝5.∵椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．5．(2012·阜新质检)已知椭圆＋＝1，F1，F2为焦点，M为椭圆上的点，若△MF1F24\n的内切圆的面积为π，则这样的点M的个数为( )A．0B．1C．2D．4解析：选C.由已知得△MF1F2的内切圆的半径为r＝，又因为a＝5，c＝＝3，所以△MF1F2的周长为2a＋2c＝16，所以△MF1F2的面积S＝(2a＋2c)r＝×16×＝12，设M(x0，y0)，则S＝·2c·|y0|＝×6×|y0|＝12，解得y0＝±4，由于M为椭圆上的点，所以－4≤y0≤4，故M应恰好为短轴的两个端点，即这样的点M有2个．二、填空题6．已知椭圆C的中心在坐标原点，椭圆的两个焦点分别为(－4,0)和(4,0)，且经过点(5,0)，则该椭圆的方程为________．解析：由题意，c＝4，且椭圆焦点在x轴上，∵椭圆过点(5,0)．∴a＝5，∴b＝＝3.∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知平面内两定点A(0,1)，B(0，－1)，动点M到两定点A、B的距离之和为4，则动点M的轨迹方程是________．解析：由椭圆的定义知，动点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且c＝1,2a＝4，∴a＝2，b＝＝.∴椭圆方程为＋＝1.答案：＋＝18．如图Rt△ABC中，AB＝AC＝1，以点C为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在AB边上，且这个椭圆过A、B两点，则这个椭圆的焦距长为________．解析：设另一焦点为D，则由定义可知．AC＋AD＝2a，AC＋AB＋BC＝4a，又∵AC＝1，∴BC＝，∴a＝＋.∴AD＝.在Rt△ACD中焦距CD＝.答案：三、解答题9．(2011·高考上海卷)已知椭圆C：＋y2＝1(常数m＞1)，P是曲线C上的动点，M是曲线C的右顶点，定点A的坐标为(2,0)．(1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；(2)若m＝3，求|PA|的最大值与最小值；4\n(3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围．解：(1)由题意知m＝2，椭圆方程为＋y2＝1，c＝＝，∴左、右焦点坐标分别为(－，0)，(，0)．(2)m＝3，椭圆方程为＋y2＝1，设P(x，y)，则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－＝2＋(－3≤x≤3)，∴当x＝时，|PA|min＝；当x＝－3时，|PA|max＝5.(3)设动点P(x，y)，则|PA|2＝(x－2)2＋y2＝(x－2)2＋1－＝2－＋5(－m≤x≤m)．∵当x＝m时，|PA|取最小值，且＞0，∴≥m且m＞1，解得1＜m≤1＋.10．(2011·高考陕西卷)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C的方程得＝1，∴b＝4.又由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＝，x2＝.设线段AB的中点坐标为(x′，y′)，则x′＝＝，y′＝＝(x1＋x2－6)＝－，即中点坐标为.4\n11．(探究选做)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程；(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B.已知点A的坐标为(－a,0)．若|AB|＝，求直线l的倾斜角．解：(1)由e＝＝，得3a2＝4c2.再由c2＝a2－b2，解得a＝2b.由题意可知×2a×2b＝4，即ab＝2.解方程组得所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由(1)可知点A的坐标是(－2,0)，设点B的坐标为(x1，y1)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)．于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.由－2x1＝，得x1＝，从而y1＝.所以|AB|＝＝.由|AB|＝，得＝.整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0，解得k＝±1.(k2＝－舍去)所以直线l的倾斜角为或.4
