第七章第5课时空间中的垂直关系课时闯关（含解析）一、选择题1．已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是( )A．l∥m，l⊥α B．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α解析：选C.设m在平面α内的射影为n，当l⊥n且与α无公共点时，l⊥m，l∥α.2．(2012·开封质检)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：选B.若l⊥m，m⊂α，则l与α可能平行、相交或l⊂α；若l⊥α，l∥m，则m⊥α；若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行或异面；若l∥α，m∥α，则l与m可能平行、相交或异面，故只有B选项正确．3．正方体ABCD－A′B′C′D′中，E为A′C′的中点，则直线CE垂直于( )A．A′C′B．BDC．A′D′D．AA′解析：选B.连接B′D′，∵B′D′⊥A′C′，B′D′⊥CC′，且A′C′∩CC′＝C′，∴B′D′⊥平面CC′E.而CE⊂平面CC′E，∴B′D′⊥CE.又∵BD∥B′D′，∴BD⊥CE.4．如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是( )A．①②B．①②③C．①D．②③解析：选 B.对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC；对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，∵PA⊂平面PAC，∴OM∥平面PAC；对于③，由①知BC⊥平面PAC，∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故①②③都正确．5.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么( )A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC解析：选C.∵M为AB的中点，△ACB为直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC.二、填空题6．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中：与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，∴AB⊥平面PAC，5\n∴AB⊥PC.与AP垂直的直线是AB.答案：AB，BC，AC AB5\n7．(2012·绵阳质检)在正三棱锥P－ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：①AC⊥PB；②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________．解析：如图，∵P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC；又∵DE∥AC，DE⊂平面PDE，AC⊄平面PDE，∴AC∥平面PDE.故①②正确．答案：①②8．已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；④若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥B.其中正确命题的序号有________．解析：垂直于同一直线的两平面平行，①正确；α⊥β也成立，②错；a、b也可异面，③错；由面面平行性质知，a∥b，④正确．答案：①④三、解答题9．如图，在七面体ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，AB⊥AC，ED⊥DG，EF∥DG，且AC＝EF＝1，AB＝AD＝DE＝DG＝2.(1)求证：平面BEF⊥平面DEFG；(2)求证：BF∥平面ACGD；(3)求三棱锥A－BCF的体积．解：(1)证明：∵平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，∴AB∥DE.∵AB＝DE，∴四边形ADEB为平行四边形，∴BE∥AD.∵AD⊥平面DEFG，∴BE⊥平面DEFG，∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面DEFG.(2)证明：取DG的中点为M，连接AM、FM，则有DM＝DG＝1，又EF＝1，EF∥DG，∴四边形DEFM是平行四边形，∴DE綊FM，又∵AB綊DE，∴AB綊FM，∴四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM，又BF⊄平面ACGD，AM⊂平面ACGD，故BF∥平面ACGD.(3)∵平面ABC∥平面DEFG，则F到平面ABC的距离为AD.5\nVABCF＝VFABC＝·S△ABC·AD＝×(×1×2)×2＝.10．如图，梯形ABCD和正△PAB所在平面互相垂直，其中AB∥DC，AD＝CD＝AB，且O为AB中点．求证：(1)BC∥平面POD；(2)AC⊥PD.证明：(1)因为O为AB的中点，所以BO＝AB，又AB∥CD，CD＝AB，所以有CD綊BO，所以四边形ODCB为平行四边形，所以BC∥OD，又DO⊂平面POD，BC⊄平面POD，所以BC∥平面POD.(2)连接OC.因为CD＝BO＝AO，CD∥AO，所以四边形ADCO为平行四边形，又AD＝CD，所以ADCO为菱形，所以AC⊥DO，因为△PAB为正三角形，O为AB的中点，所以PO⊥AB，又因为平面ABCD⊥平面PAB，平面ABCD∩平面PAB＝AB，所以PO⊥平面ABCD，而AC⊂平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩DO＝O，所以AC⊥平面POD.又PD⊂平面POD，所以AC⊥PD.11．如图，A，B，C，D为空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝，等边三角形ADB以AB为轴转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD；(2)当△ADB转动时，是否总有AB⊥CD？证明你的结论．解：(1)取AB的中点E，连接DE，CE.∵△ADB是等边三角形，∴DE⊥A B.当平面ADB⊥平面ABC时，∵平面ADB∩平面ABC＝AB，∴DE⊥平面ABC，可知DE⊥CE.由已知可得DE＝，EC＝1.在Rt△DEC中，CD＝＝2.(2)当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD.证明如下：①当D在平面ABC内时，∵AC＝BC，AD＝BD，∴C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时，由(1)知AB⊥DE.又∵AC＝BC，∴AB⊥CE.又DE，CE为相交直线，∴AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE，得AB⊥CD.综上所述，总有AB⊥CD.5\n5
