滚动小专题(八) 与图形变换有关的简单计算与证明1．(2022·聊城)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O逆时针旋转，使点A恰好落在BC边上的A1处，则点C的对应点C1的坐标为(A)A．(－，)B．(－，)C．(－，)D．(－，)2．(2022·南充)如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正确结论是①②③．3．(2022·枣庄)如图，在正方形ABCD中，AD＝2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为9－5．4．如图，Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在边BC上，以AD为折痕将△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD的长是2或5．5．(2022·安徽)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知点O，A，B均为网格线的交点．(1)在给定的网格中，以点O为位似中心，将线段AB放大为原来的2倍，得到线段A1B1(点A，B的对应点分别为A1，B1)，画出线段A1B1；(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1，画出线段A2B1；(3)以A，A1，B1，A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是20个平方单位．4\n解：(1)如图所示，线段A1B1即为所求．(2)如图所示，线段A2B1即为所求．6．如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．解：(1)证明：由折叠可知∠CDB＝∠EDB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD.∴∠EDB＝∠EBD.(2)AF∥DB，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.由折叠可知DC＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.∴DF＝AB.∴AE＝EF.∴∠EAF＝∠EFA.在△BED中，∠EDB＋∠EBD＋∠DEB＝180°，∴2∠EDB＋∠DEB＝180°.同理，在△AEF中，2∠EFA＋∠AEF＝180°.∵∠DEB＝∠AEF，∴∠EDB＝∠EFA.∴AF∥DB.7．在等边△ABC中： 图1 图2 (1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；4\n(2)点P，Q是BC边上的两个动点(不与点B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为点M，连接AM，PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P，Q运动的过程中，始终有PA＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA＝PM，只需证△PAM是等边三角形．想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM.想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK.……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM.(一种方法即可)解：(1)∵AP＝AQ，∴∠AQB＝∠APC.又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，∴∠AQB＝80°.(2)①如图所示．②证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ，∴∠APQ＝∠AQB.∴∠BAP＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.∵Q，M关于AC对称，∴AQ＝AM，∠QAC＝∠MAC.∴∠PAM＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ＝AM，∴△APM为等边三角形．∴PA＝PM.8．(2022·枣庄)如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG.(1)求证：四边形EFDG是菱形；(2)探究线段EG，GF，AF之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG＝6，EG＝2，求BE的长．解：(1)证明：∵GE∥DF，∴∠EGF＝∠DFG.∵由翻折的性质可知GD＝GE，DF＝EF，∠DGF＝∠EGF，∴∠DGF＝∠DFG.∴GD＝DF.∴DG＝GE＝DF＝EF.∴四边形EFDG为菱形．(2)EG2＝GF·AF.理由：连接DE，交AF于点O.∵四边形EFDG为菱形，4\n∴GF⊥DE，OG＝OF＝GF.∵∠DOF＝∠ADF＝90°，∠OFD＝∠DFA，∴△DOF∽△ADF.∴＝，即DF2＝FO·AF.∵FO＝GF，DF＝EG，∴EG2＝GF·AF.(3)过点G作GH⊥DC，垂足为H.∵EG2＝GF·AF，AG＝6，EG＝2，∴20＝FG(FG＋6)，整理得FG2＋6FG－40＝0.解得FG＝4，FG＝－10(舍去)．∵DF＝GE＝2，AF＝10，∴AD＝＝4.∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD.∴△FGH∽△FAD.∴＝，即＝.∴GH＝.∴BE＝AD－GH＝4－＝.4
